Question

已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，分別以AC，AB所在直線為x軸，y軸建立直角坐標系（如圖）．點M（m，n）是直線BC上的一個動點，設△MAC的面積為S．
（1）求直線BC的解析式；
（2）求S關于m的函數解析式；
（3）是否存在點M，使△AMC為等腰三角形？若存在，求點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）設直線BC的解析式為：y=kx+b，
∵BA=AC=4，
∴B（0，4），C（4，0），
∴b=4，k=-1，
∴直線BC的解析式為：y=-x+4，

（2）∵點M（m，n）是直線BC上的一個動點，
∴S=S_△MAC
=

1

2

×AC×n
=2n
=2（4-m）
=-2m+8，
∴S=-2m+8，

（3）存在這樣的M，
①如圖1，當∠ACM為頂角時，則AC=MC，
作MG⊥AB，MH⊥AC，
∵AC=AB=4，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴CM=4，BC=4

2

，
∴BM=4

2

-4，
∵∠ABC=45°，
∴BG=MG，
∴BG=MG=4-2

2

，
∴AG=MH=2

2

，
∴M（4-2

2

，2

2

），

②如圖2，當∠ACM為底角時，則MA=MC，
作MF⊥AB，ME⊥AC，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴當M點為BC的中點時，MA=MC，
∵AC=AB=4，
∴MF=ME=2，
∴M（2，2），

③如圖3，當M點與B點重合時，當∠ACM為底角時，則MA=AC，
∵B（0，4），
∴M（0，4），
④當M在第四象限時，AC=CM=4，過M作MD⊥x軸，連接AM，如圖所示：

∵∠BAC=∠MDC=90°，∠ACB=∠DCM，
∴△ACB∽△DCM，
∴

AB

MD

=

AC

CD

，又AB=AC=4，
∴MD=CD=4×

2

2

=2

2

，AD=AC+CD=4+2

2

，
∴M₄（4+2

2

，-2

2

），
∴M點的坐標分別為：M₁（2，2），M₂（0，4），M₃（4-2

2

，2

2

），M₄（4+2

2

，-2

2

）．