Question

【題目】已知ABCD的一組鄰邊AB、AD的長是關于x的方程x2﹣4x+m=0的兩個實根．

（1）當m為何值時，四邊形ABCD是菱形？
（2）在第（1）問的前提下，若∠ABC=60°，求ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：四邊形ABCD是菱形時，AB=AD，

∵AB，AD的長是關于x的方程x2﹣mx+4=0的兩個實數根，

∴△=（﹣4）2﹣4m=0，

解得：m=4，

∴當m=4時，四邊形ABCD是菱形

（2）解：如圖，連接AC、BD交于點O，

當m=4時，

x2﹣4x+4=0，

解得：x1=x2=2，

則AB=2，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴∠ABO= ∠ABC=30°，

DB═2OB，AC=2OA，AC⊥BD，

在直角△AOB中，

∵∠ABO=30°，

∴OA= AB=1，

0B= ，

BD=2OB=2 ，

AC=2OA=2，

∴S菱形ABCD= BDAC= ×2×2 =2 ．

【解析】（1）由菱形的判定知四邊形ABCD是菱形時，AB=AD，根據方程根的判別式知△=（﹣4）2﹣4m=0，解方程求出m的值，從而得出結論；
（2）連接AC、BD交于點O，首先計算出菱形的邊長AB，然后根據菱形的對角線垂直、平分、每條對角線平分一組對角，得出∠ABO=30°，DB═2OB，AC=2OA，AC⊥BD，在直角△AOB中，利用含30角的直角三角形的邊之間的關系求出OA,OB，進而得出BD,AC，根據菱形的面積等于兩對角線之積的一半得出答案。
【考點精析】掌握求根公式是解答本題的根本，需要知道根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根．