Question

【題目】已知AB∥CD，解決下列問題：

(1)如圖①，BP、DP分別平分∠ABE、∠CDE，若∠E＝100°，求∠P的度數．

(2)如圖②，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，試寫出∠P與∠E的數量關系并說明理由．

(3)如圖③，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，設∠E＝m°，求∠P的度數(直接用含n、m的代數式表示，不需說明理由)．

Answer 1

【答案】(1)∠P＝130°；(2)3∠P+∠BED＝360°；(3)∠P＝．

【解析】

（1）過E作EF∥AB，依據平行線的性質，即可得到∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，再根據∠BED＝100°，BP、DP分別平分∠ABE、∠CDE，即可得到∠P的度數．

（2）過E作EF∥AB，依據平行線的性質，即可得到∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED，再根據∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，即可得到∠PBE+∠PDE＝（∠ABE+∠CDE）＝240°﹣∠BED，再根據四邊形內角和得出∠P與∠E的數量關系；

（3）利用平行線的性質可得∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED＝360°﹣m°，再根據∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，即可得到∠PBE+∠PDE＝（∠ABE+∠CDE）＝（360°﹣m°），再根據四邊形PDEB內角和，即可得到∠P＝360°﹣（360°﹣m°）﹣m°＝．

解：(1)如圖①，過E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥AB∥CD，

∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE+∠DEF＝180°，

∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，

又∵∠BED＝100°，

∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣100°＝260°，

又∵BP、DP分別平分∠ABE、∠CDE，

∴∠PBE+∠PDE＝(∠ABE+∠CDE)＝×260°＝130°，

∴∠P＝360°﹣130°﹣100°＝130°；

(2)3∠P+∠BED＝360°；

如圖②，過E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥AB∥CD，

∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE+∠DEF＝180°，

∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，

∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED，

又∵∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，

∴∠PBE+∠PDE＝(∠ABE+∠CDE)＝×(360°﹣∠BED)＝240°﹣∠BED，

∴∠P＝360°﹣∠BED﹣(240°﹣∠BED)＝120°﹣∠BED，

即3∠P+∠BED＝360°；

(3)∠P＝．

如圖③，過E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥AB∥CD，

同理可得，∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED＝360°﹣m°，

又∵∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，

∴∠PBE+∠PDE＝(∠ABE+∠CDE)＝(360°﹣m°)，

∴四邊形PDEB中，∠P＝360°﹣(360°﹣m°)﹣m°＝．