Question

【題目】如圖，線段AC∥x軸，點B在第四象限，AO平分∠BAC，AB交x軸于G，連OB，OC．

（1）判斷△AOG的形狀，并證明；
（2）如圖1，若BO=CO且OG平分∠BOC，求證：OA⊥OB；
（3）如圖2，在（2）的條件下，點M為AO上的一點，且∠ACM=45°，若點B（1，﹣2），求M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AO平分∠BAC，

∴∠CAO=∠BAO，

∵線段AC∥x軸，

∴∠CAO=∠AOG，

∴∠BAO=∠AOG，

∴GO=GA，

∴△AOG是等腰三角形

（2）

解：如圖1，

連接BC，

∵BO=CO且OG平分∠BOC，

∴BF=CF，

∵線段AC∥x軸，

∴AG=BG，

由（1）得OG=AG，

∴OG= AB，

∴△AOB是直角三角形，

∴OA⊥OB，

（3）

解：如圖2，連接BC，

由（2）有，BF=CF，BC⊥OG，

∵點B（1，﹣2），

∴BF=2，OF=1，

在Rt△BFG中，BF=2，BG=FG+1，

根據勾股定理得，（FG+1）2=FG2+4，

∴FG= ，

∵AC∥OG，AG=BG，

∴AC=2FG=3，

由（2）有，BF=CF，BC⊥OG，

∵點B（1，﹣2），

∴C（1，2），A（4，2），

∴直線OA解析式為y= x①，

延長CM交x軸于E，

∵∠ACM=45°，

∴∠CEO=45°，

∴FE=FC=2，

∴E（3，0），

∵C（1，2），

∴直線AE解析式為y=﹣x+3②，

聯立①②解得x=2，y=1，

∴M（2，1）．

【解析】（1）由角平分線得出∠CAO=∠BAO，由平行線得出∠CAO=∠AOG，即∠BAO=∠AOG，即可；（2）先判斷出點F是BC中點，再用中位線得出AG=BG，從而判斷出△AOB是直角三角形，即可；（3）先求出OG，從而求出AC，得出點A，C坐標，最后求出直線OA，CM的解析式，即可求出它們的交點坐標．
【考點精析】利用角平分線的性質定理和等腰三角形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．