Question

【題目】如圖，拋物線的頂點為C（1，﹣2），直線y=kx+m與拋物線交于A、B來兩點，其中A點在x軸的正半軸上，且OA=3，B點在y軸上，點P為線段AB上的一個動點（點P與點A、B不重合），過點P且垂直于x軸的直線與這條拋物線交于點E．

（1）求直線AB的解析式．

（2）設點P的橫坐標為x，求點E的坐標（用含x的代數式表示）．

（3）求△ABE面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）直線AB解析式為y=x﹣；

（2）E點的坐標為（x， x2﹣x﹣）；

（3）△ABE面積的最大值為．

【解析】試題分析：（1）由條件可先求得拋物線解析式，則可求得B點坐標，再利用待定系數法可求得直線AB解析式；

（2）由條件可知P、E的橫坐標相同，又點E在拋物線上，則可表示出E點坐標；

（3）由（2）可用x表示出PE的長，則可用x表示出△ABE的面積，再利用二次函數的性質可求得其最大值．

試題解析：（1）∵拋物線頂點坐標為（1，﹣2），

∴可設拋物線解析式為y=a（x﹣1）2﹣2，

∵OA=3，且點A在x軸的正半軸上，

∴A（3，0），

∴0=a（3﹣1）2﹣2，解得a=，

∴拋物線解析式為y=（x﹣1）2﹣2=x2﹣x﹣，當x=0時可得y=﹣，

∴B（0，﹣），

設直線AB解析式為y=kx+b，把A、B坐標代入可得，解得，

∴y=x﹣；

（2）∵點P為線段AB上的一個動點，且PE⊥x軸，

∴點E的橫坐標為x，

∵點E在拋物線上，

∴E點的坐標為（x， x2﹣x﹣）；

（3）∵點P為線段AB上的一點，

∴P（x， x﹣），則E（x， x2﹣x﹣），

∴PE=x﹣﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+x，

由（2）可知點B到PE的距離x，點A以PE的距離為3﹣x，

∴S△ABE=PEx+PE（3﹣x）=PE（x+3﹣x）=PE=（﹣x2+x）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴當x=時，S△ABE有最大值，最大值為，

∴△ABE面積的最大值為．