Question

【題目】如圖，O為等腰三角形ABC內一點，⊙O與△ABC的底邊BC交于M，N兩點，與底邊上的高AD交于點G，且與AB，AC 分別相切于E，F兩點．

（1）證明：EF∥BC；

（2）若AG等于⊙O的半徑，且AE=MN=2，求四邊形EBCF的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）利用等腰三角形的性質先判斷AD是∠CAB的平分線，再根據切線長定理得到AE=AF，接著利用等腰三角形的性質判斷AD⊥EF，然后根據平行線的判定可得到結論；

（2）先證明AD是EF的垂直平分線得到O在AD上；連結OE，OM，再根據切線的性質得到OE⊥AE，接著證明△ABC和△AEF都是等邊三角形，則根據等邊三角形的性質和含30度的直角三角形三邊的關系計算出OE、AO，再利用勾股定理計算出OD，然后根據等邊三角形的面積公式，利用四邊形EBCF的面積=S△ABC-S△AEF進行計算即可．

試題解析：（1）∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，

∴AD是∠CAB的平分線，

又∵☉O分別與AB，AC相切于點E，F，

∴AE=AF，

∴AD⊥EF，

∴EF∥BC；

（2）由（1）知，AE=AF，AD⊥EF，

∴AD是EF的垂直平分線，

∴O在AD上；

連結OE，OM，

∵AB為切線，

∴OE⊥AE，

∴AG=OG=OE，

即AO=2OE，

∴∠OAE=30°，

∴∠EAF=60°，

∴△ABC和△AEF都是等邊三角形，

∴AE=2，

∴OE=AE=2，AO=2OE=4，

∵OM=OE=2，DM=MN=，

∴OD==1，

∴AD=AO+OD=5，

∴BD=AD=，

∴AB=2BD=，

∴四邊形EBCF的面積=S△ABC-S△AEF

=（）2-×（2）2

=．