Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y=ax2．

（1）若直線l1：y=x-1與拋物線C有且只有1個交點，求拋物線C的解析式．

（2）如圖1，在（1）的條件下，在y軸上有一點A（0，4），過點A作直線l2與拋物線C有兩個交點M、N（N位于第一象限），過點N作x軸的垂線，垂足為H．試探究：是否存在l2，使△MON∽△NHO？若存在，求出l2的解析式；若不存在，說明理由．

（3）如圖2，E、F為拋物線C（y=ax2）上兩動點，始終滿足OE⊥OF，連接EF，則直線EF是否恒過一定點G？若存在點G，直接寫出G點坐標（用含a的坐標表示），若不存在，給予證明．

（參考結論：若直線l：y=kx+b上有兩點（x1，y1）、（x2，y2），則斜率k=；當兩直線l1、l2的斜率乘積k1k2=-1時，l1⊥l2）

Answer 1

【答案】(1) C的解析式為y=x2；(2) y=4；（3）點G坐標為（0，）．

【解析】

試題分析：（1）首先將l1和拋物線C的解析式聯立得：ax2-x+1=0，由直線l1：y=x-1與拋物線C有且只有1個交點，可得△=0，繼而求得a的值，即求得拋物線C的解析式；

（2）首先設l2解析式為y=kx+b，然后與拋物線C解析式聯立，再設點M（x1，kx1+4），N（x2，kx2+4），分別表示出OM，ON的斜率，然后求得k1k2=-1，即可證得OM⊥ON，則可求得l2的解析式；

（3）與（2）類似，可以由k1k2=-1，求得G點坐標．

試題解析：（1）將l1和拋物線C的解析式聯立得：ax2-x+1=0，

∵y=x-1與拋物線C有且只有1個交點，

∴△=1-4a=0，

解得a=，

∴C的解析式為y=x2；

（2）假設存在l2，設l2解析式為y=kx+b，

與拋物線C解析式聯立得： x2-kx-4=0，

設點M（x1，kx1+4），N（x2，kx2+4），

則直線OM、ON的斜率分別為k1=，k2=，

∴k1k2=k2+，

∵x1+x2=4k，x1x2=-16，

∴k1k2=k2++=-1，

∴OM⊥ON恒成立，∠MON=∠NHO=90°，

要想使△MON∽△NHO成立，只需再令∠MNO=∠NOH即可，

即MN⊥x軸，

∴存在l2符合題意，l2解析式為y=4；

（3）存在定點G，

假設存在l，設l解析式為y=kx+b，

與拋物線C解析式聯立得：ax2-kx-b=0，

設點M（x1，kx1+b），N（x2，kx2+b），

則直線OM、ON的斜率分別為k1=，k2=，

∴k1k2=k2+，

∵x1+x2=，x1x2=-，OE⊥OF，

∴k1k2=k2+=-ab=-1，

∴b=，

∴點G坐標為（0，）．