Question

【題目】函數y=x2+bx+c的圖像與x 軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，OB=OC．點D在函數圖像上，CD//x軸，且CD=2，直線l 是拋物線的對稱軸，E是拋物線的頂點．

（1）求b、c 的值；

（2）如圖①，連接BE，線段OC 上的點F 關于直線l 的對稱點F′ 恰好在線段BE上，求點F的坐標；

（3）如圖②，動點P在線段OB上，過點P 作x 軸的垂線分別與BC交于點M，與拋物線交于點N．試問：拋物線上是否存在點Q，使得△PQN與△APM的面積相等，且線段NQ的長度最小？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，說明理由．

圖 ① 圖②

Answer 1

【答案】（1）c=-3；（2）點F的坐標為（0，-2）；（3）滿足題意的點Q的坐標為（,）和(,)

【解析】

（1）由條件可求得拋物線對稱軸，則可求得b的值；由OB=OC，可用c表示出B點坐標，代入拋物線解析式可求得c的值；

（2）可設F（0，m），則可表示出F′的坐標，由B、E的坐標可求得直線BE的解析式，把F′坐標代入直線BE解析式可得到關于m的方程，可求得F點的坐標；

（3）設點P坐標為（n，0），可表示出PA、PB、PN的長，作QR⊥PN，垂足為R，則可求得QR的長，用n可表示出Q、R、N的坐標．在Rt△QRN中，由勾股定理可得到關于n的二次函數，利用二次函數的性質可知其取得最小值時n的值，則可求得Q點的坐標．

（1）∵CD∥x軸，CD=2，∴拋物線對稱軸為x=1，∴．

∵OB=OC，C（0，c），∴B點的坐標為（﹣c，0），∴0=c2+2c+c，解得：c=﹣3或c=0（舍去），∴c=﹣3；

（2）設點F的坐標為（0，m）．

∵對稱軸為直線x=1，∴點F關于直線l的對稱點F的坐標為（2，m）．

由（1）可知拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4）．

∵直線BE經過點B（3，0），E（1，﹣4），∴利用待定系數法可得直線BE的表達式為y=2x﹣6．

∵點F在BE上，∴m=2×2﹣6=﹣2，即點F的坐標為（0，﹣2）；

（3）存在點Q滿足題意．

設點P坐標為（n，0），則PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n+3．

作QR⊥PN，垂足為R．

∵S△PQN=S△APM，∴，∴QR=1．

分兩種情況討論：

①點Q在直線PN的左側時，Q點的坐標為（n﹣1，n2﹣4n），R點的坐標為（n，n2﹣4n），N點的坐標為（n，n2﹣2n﹣3），∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n﹣3）2，∴時，NQ取最小值1．此時Q點的坐標為；

②點Q在直線PN的右側時，Q點的坐標為（n+1，n2﹣4）．

同理，NQ2=1+（2n﹣1）2，∴時，NQ取最小值1．此時Q點的坐標為．

綜上可知存在滿足題意的點Q，其坐標為或．