Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=30cm，BC=40cm．點P從點A出發，以5cm/s的速度沿AC向終點C勻速移動．過點P作PQ⊥AB，垂足為點Q，以PQ為邊作正方形PQMN，點M在AB邊上，連接CN．設點P移動的時間為t（s）．

（1）PQ=______；（用含t的代數式表示）

（2）當點N分別滿足下列條件時，求出相應的t的值；①點C，N，M在同一條直線上；②點N落在BC邊上；

（3）當△PCN為等腰三角形時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）4t；（2）①，②；（3）秒或秒或秒．

【解析】

（1）先求出AB=50，sinA==，cosA==，進而求出AQ=3t，PQ=4t，即可得出結論；

（2）先判斷出PN=QM=PQ=4t，

①求出CD=24，AD=18，進而判斷出AQ+QM=AD=18，建立方程即可得出結論；

②判斷出∠APQ=∠PNC，進而得出△AQP∽△PCN，建立方程即可得出結論；

（3）分三種情況，利用等腰三角形的性質建立方程求解即可得出結論．

解：（1）在Rt△ABC中，根據勾股定理得，AB=50，

∴sinA==，cosA==

∵PQ⊥AB，

∴∠AQP=90°，

由運動知，AP=5t，

在Rt△AQP中，AQ=APcosA=×5=3t，PQ=APsinA=4t，

故答案為：4t；

（2）由（1）知，AQ=3t，PQ=4t，

∵四邊形PQMN是正方形，

∴PN=QM=PQ=4t，

①如圖1，

由（1）知，AB=50，

過點C作CD⊥AB于D，

∴ABCD=ACBC，

∴CD=24，

在Rt△ADQ中，AD==18，

∵點C，N，M在同一條直線上，

∴點M落在點D，

∴AQ+QM=AD=18，

由（1）知，QM=PQ=4t，AQ=3t，

∴4t+3t=18，

∴t=；

②點N落在BC上時，∠PCN=∠PCB=90°=∠AQP，

∴∠CPN+∠CNP=90°，

∵∠QPN=90°

∴∠CPN+∠APQ=90°，

∴∠APQ=∠PNC，

∵∠AQP=∠PCN，

∴△AQP∽△PCN，

∴，

∴，

∴t=；

（3）當PC=PN時，30-5t=4t，

∴t=，

當PC=NC時，如圖2，過點C作CF⊥PN于F，延長CF交AB于D，

∴PF=PN=2t，

∴QD=2t，

根據勾股定理得，AQ==3t，

∴AD=AQ+QD=5t=18，

∴t=，

當PN=NC時，如圖3，過點N作NG⊥AC于G，

∴PG=PC=，

易知，△PNG∽△APQ，

∴，

∴，

∴t=，

即：當△PCN是等腰三角形時，秒或秒或秒．