Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于點D，∠FAC=∠ABC，且∠FAC在AC下方．點P，Q分別是射線BD，射線AF上的動點，且點P不與點B重合，點Q不與點A重合，連接CQ，過點P作PE⊥CQ于點E，連接DE．

（1）若∠ABC=60°，BP=AQ．

①如圖1，當點P在線段BD上運動時，請直接寫出線段DE和線段AQ的數量關系和位置關系；

②如圖2，當點P運動到線段BD的延長線上時，試判斷①中的結論是否成立，并說明理由；

（2）若∠ABC=2α≠60°，請直接寫出當線段BP和線段AQ滿足什么數量關系時，能使（1）中①的結論仍然成立（用含α的三角函數表示）．

Answer 1

【答案】（1）①DE=AQ，DE∥AQ，理由見解析；② E∥AQ，DE=AQ，理由見解析；（2）AQ=2BPsinα，理由見解析.

【解析】

（1）①先判斷出△ABC是等邊三角形，進而判斷出∠CBP=∠CAQ，即可判斷出△BPC≌△AQC，再判斷出△PCQ是等邊三角形，進而得出CE=QE，即可得出結論；

②同①的方法即可得出結論；

（2）先判斷出，∠PAQ=90°﹣∠ACQ，∠BAP=90°﹣∠ACQ，進而得出∠BCP=∠ACQ，即可判斷出進而判斷出△BPC∽△AQC，最后用銳角三角函數即可得出結論．

（1）①DE=AQ，DE∥AQ，

理由：如圖1，連接PC，PQ，

在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°，AC=BC，

∵AB=BC，BD⊥AC，

∴AD=CD，∠ABD=∠CBD=∠BAC，

∵∠CAF=∠ABC，

∴∠CBP=∠CAQ，

在△BPC和△AQC中，，

∴△BPC≌△AQC（SAS），

∴PC=QC，∠BPC=∠ACQ，

∴∠PCQ=∠PCA+∠AQC=∠PCA+∠BCP=∠ACB=60°，

∴△PCQ是等邊三角形，

∵PE⊥CQ，

∴CE=QE，

∵AD=CD，

∴DE=AQ，DE∥AQ；

②DE∥AQ，DE=AQ，

理由：如圖2，連接PQ，PC，

同①的方法得出DE∥AQ，DE=AQ；

（2）AQ=2BPsinα，

理由：連接PQ，PC，

要使DE=AQ，DE∥AQ，

∵AD=CD，

∴CE=QE，

∵PE⊥CQ，

∴PQ=PC，

易知，PA=PC，

∴PA=PE=PC

∴以點P為圓心，PA為半徑的圓必過A，Q，C，

∴∠APQ=2∠ACQ，

∵PA=PQ，

∴∠PAQ=∠PQA=（180°﹣∠APQ）=90°﹣∠ACQ，

∵∠CAF=∠ABD，∠ABD+∠BAD=90°，

∴∠BAQ=90°，

∴∠BAP=90°﹣∠PAQ=90°﹣∠ACQ，

易知，∠BCP=∠BAP，

∴∠BCP=∠ACQ，

∵∠CBP=∠CAQ，

∴△BPC∽△AQC，

∴，

在Rt△BCD中，sinα=，

∴=2×=2sinα，

∴AQ=2BPsinα．