Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上一點，F是AB上的一點，EF⊥EC，且EF=EC．

（1）求證：△AEF≌△DCE．

（2）若DE=4cm，矩形ABCD的周長為32cm，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6cm.

【解析】（1）根據EF⊥CE，求證∠AEF=∠ECD．再利用AAS即可求證△AEF≌△DCE．
（2）利用全等三角形的性質，對應邊相等，再根據矩形ABCD的周長為32cm，即可求得AE的長.

（1）證明：∵EF⊥CE，

∴∠FEC=90°，

∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，

∴∠AEF=∠ECD．

在Rt△AEF和Rt△DEC中，

∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC．

∴△AEF≌△DCE．

（2）解：∵△AEF≌△DCE．

AE=CD．

AD=AE+4．

∵矩形ABCD的周長為32cm，

∴2（AE+AE+4）=32．

解得，AE=6（cm）．

答：AE的長為6cm．