Question

【題目】如圖，CD是經過∠BCA頂點C的一條直線，CA＝CB.E、F分別是直線CD上兩點，且∠BEC＝∠CFA＝∠α.

(1)若直線CD經過∠BCA的內部，且E，F在射線CD上.

①如圖1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，則BE CF；

②如圖2，若0°＜∠BCA<180°，請添加一個關于∠α與∠BCA關系的條件 ，使①中的結論仍然成立，并說明理由；

(2)如圖3，若直線CD經過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，請提出關于EF，BE，AF三條線段數量關系的合理猜想： .

Answer 1

【答案】(1)①＝；②∠BCA＝180°－∠α；(2 )EF＝BE＋AF.

【解析】試題分析：（1）①由∠BCA=90°，∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，可推得∠CBE=∠ACD，且已知CA=CB，∠BEC=∠CFA，所以△BEC≌△CDA，可得BE=CF；

②只有滿足△BEC≌△CDA，才有①中的結論，即∠BCE=∠CAF，∠CBE=∠FCA；由三角形內角和等于180°，可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°，即∠α+∠BCE+∠FCA=180°，即可得到∠BCA=180°-∠α；

（2）只要通過條件證明△BEC≌△CFA（可通過ASA證得），可得BE=CF，EC=AF，即可得到EF=EC+CF=BE+AF．

試題解析：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，

∴∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠CBE=∠ACD，

在△BEC與△CDA中，

∵ ，

∴△BEC≌△CFA（AAS），

∴BE=CF

故答案為：=；

②∠α與∠BCA應滿足的關系是∠BCA=180°-∠α，理由為：

∵∠α+∠BCA=180°，

∴∠α+∠BCE+∠FCA=180°，

∵∠α+∠BCE+∠CBE=180°（三角形內角和等于180°），

∴∠CBE=∠ACD，

又∵∠BEC=∠CFA，CA=CB，

∴△BEC≌△CFA（AAS），

∴BE=CF，

則∠α與∠BCA應滿足的關系是∠BCA=180°-∠α；

（2）探究結論：EF=BE+AF，

∵∠1+∠2+∠BCA=180°，∠2+∠3+∠CFA=180°，

又∵∠BCA=∠α=∠CFA，

∴∠1=∠3；

又∵∠BEC=∠CFA=∠α，CB=CA，

∴△BEC≌△CFA（AAS），

∴BE=CF，EC=FA，

∴EF=EC+CF=BE+AF．