Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，點D從點C出發，以2 cm/s 的速度沿折線C→A→B向點B運動，同時點E從點B出發，以1 cm/s的速度沿BC邊向點C運動，設點E運動的時間為t （單位：s）（0＜t＜8）.

(1) 當△BDE 是直角三角形時，求t的值；

(2)若四邊形CDEF是以CD、DE為一組鄰邊的平行四邊形，①設它的面積為S，求S關于t的函數關系式；②是否存在某個時刻t，使平行四邊形CDEF為菱形?若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當△BDE是直角三角形時,或；（2）①當時,,

當時, ；②存在, 即當時,□CDEF為菱形.

【解析】

（2）當△BDE是直角三角形時，∠B不可能為直角，所以分兩種情況討論：i）圖1，當∠BED=90°時；ii）圖2，當∠EDB=90°時；利用相似求邊，再利用同角三角函數值列等式計算求出t的值；

（3）①根據點D的位置分兩種情況討論：點D在邊AC上時，0＜t≤3；點D在邊AB上時，3＜t＜8；CDEF的面積都等于△CDE面積的二倍；

②當CDEF為菱形，對角線CE和DF互相垂直且平分，利用BH=BE+EH列式計算．

（1）如圖1，當∠BED=90°時，△BDE是直角三角形，

則BE=t，AC+AD=2t，

∴BD=6+10-2t=16-2t，

∵∠BED=∠C=90°，

∴DE∥AC，

∴，

∴，

∴DE=，

∵sinB=，

∴，

t=；

如圖2，當∠EDB=90°時，△BDE是直角三角形，

則BE=t，BD=16-2t，

cosB=，

∴，

∴t=；

答：當△BDE是直角三角形時，t的值為或；

（3）①如圖3，當0＜t≤3時，BE=t，CD=2t，CE=8-t，

∴SCDEF=2S△CDE=2××2t×（8-t）=-2t2+16t，

如圖4，當3＜t＜8時，BE=t，CE=8-t，過D作DH⊥BC，垂足為H，

∴DH∥AC，

∴，

∴，

∴DH=，

∴SCDEF=2S△CDE=2××CE×DH=CE×DH=（8-t）×=t2t+；

∴S于t的函數關系式為：當0＜t≤3時，S=-2t2+16t，

當3＜t＜8時，S=t2t+；

②存在，如圖5，當CDEF為菱形時，DH⊥CE，

由CD=DE得：CH=HE，

BH=，BE=t，EH=，

∴BH=BE+EH，

∴=t+，

∴t=，

即當t=時，CDEF為菱形．