Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點是坐標原點，拋物線與軸相交于、兩點，與軸交于點，；

（1）如圖1，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點在第四象限的拋物線上，連接交軸于點，軸于點，的延長線交直線于點，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點在上，連接、，，，求的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）（5，）

【解析】

（1）設點A的坐標為（a，0），從而求出點B的坐標，然后代入解析式即可求出結論；

（2）先求出點A、B、C的坐標，設點R的坐標為（m，），用含m的式子表示出OE、RE，然后根據相似三角形的判定定理證出△OAD∽△ERD，△BOC∽△GEC，最后列出比例式即可求出DE和RG，從而證出結論；

（3）過點N作NH⊥CE于E，作∠DFE=45°,用含m的式子表示出DE、EF、DF，設HN=n，，易知CH=n，OH=OC－CH=4－n，根據即可求出m與n的關系，然后根據銳角三角函數的性質可證∠HEN=∠FRD，再根據相似三角形的判定定理證出△RFD∽△DFG，列出比例式即可求出m的值，從而求出結論．

解：（1）設點A的坐標為（a，0），a＜0

∵

∴點B的坐標為（-2a，0）

將點A、B的坐標代入中，得

解得：或（不符合前提條件，舍去）

∴拋物線的解析式為；

（2）由（1）得點A（-2,0），點B（4,0），點C（0,4）

設點R的坐標為（m，），其中m＞0

∴OA=2，OB=4，OC=4，OE=，RE=m

∵軸

∴RE∥x軸

∴△OAD∽△ERD，△BOC∽△GEC

∴，

即，

解得： DE，RG

∴DE=RG；

（3）過點N作NH⊥CE于E，作∠DFE=45°

∴DE=EF=，DF==

設HN=n，（n＞0），易知CH=n，OH=OC－CH=4－n，

由（2）知OE=，DE=RG，RE= m，FR=RE－EF=，FG=FR＋RG=m

∵

∴EH2＋HN2=EN2=DR2=DE2＋RE2

∴（＋4－n）2＋n 2 =（）2＋m2

解得：n=或n=m（由圖可知：R的橫坐標m＞點B的橫坐標4＞n，故舍去）

∴HN=，EH=m

∴tan∠HEN=，tan∠FRD=

∴∠HEN=∠FRD

∵，∠DFE=45°

∴∠FRD＋∠DGE=45°，∠DGE＋∠FDG=45°

∴∠FRD=∠FDG

∵∠RFD=∠DFG

∴△RFD∽△DFG

∴

即

解得：m1=2，m2=5

當m=2時，點R的縱坐標為=4，（點R在第四象限，故舍去）

當m=5時，點R的縱坐標為=，

∴點R的坐標為（5，）