Question

【題目】如圖，直角三角形中，，為中點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到．一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以每秒1的速度沿的路線勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作直線，使．

（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)也從出發(fā)沿的路線運(yùn)動(dòng)，且在上以每秒1的速度勻速運(yùn)動(dòng)，在上以每秒2的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過作直線使，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，直線與截四邊形所得圖形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值．

（2）當(dāng)點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)從處出發(fā)沿的路線運(yùn)動(dòng)，且在上以每秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，在上以每秒2的速度勻度運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣的，使為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的值，若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1），S的最大值為；（2）存在，m的值為或或或.

【解析】

（1）分、和三種情況分別表示出有關(guān)線段求得兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系即可．

（2）分兩種情形：①如圖中，由題意點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，即．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別構(gòu)建方程求解即可．②如圖中，作于．首先證明，根據(jù)構(gòu)建方程即可解決問題．

解：（1）如圖中，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)都在上運(yùn)動(dòng)，

，，

，

，，，

，，，．

此時(shí)兩平行線截平行四邊形的面積為．

如圖中，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)仍在上運(yùn)動(dòng)．

則，，，，，，，

而，

故此時(shí)兩平行線截平行四邊形的面積為：

，

如圖中，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)都在上運(yùn)動(dòng)．

則，，，．

此時(shí)兩平行線截平行四邊形的面積為．

故關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，

當(dāng)時(shí)，S隨t增大而增大，

當(dāng)時(shí)，S隨t增大而增大，

當(dāng)時(shí)，S隨t增大而減小，

∴當(dāng)t=8時(shí)，S最大，代入可得S=；

（2）如圖中，

由題意點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，．

當(dāng)時(shí)，，則有，解得，

當(dāng)時(shí)，則有，解得，

當(dāng)時(shí)，，則有，解得．

如圖中，作于．

在Rt△CHR中，，，

，

，

，

，

四邊形是平行四邊形，

，

四邊形是矩形，

，

當(dāng)時(shí)，則有，解得，

綜上所述，滿足條件的m的值為或或或．