Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+2x+6（a≠0）交x軸與A，B兩點（點A在點B左側），將直尺WXYZ與x軸負方向成45°放置，邊WZ經過拋物線上的點C（4，m），與拋物線的另一交點為點D，直尺被x軸截得的線段EF=2，且△CEF的面積為6．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）探究：在直線AC上方的拋物線上是否存在一點P，使得△ACP的面積最大？若存在，請求出面積的最大值及此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）將直尺以每秒2個單位的速度沿x軸向左平移，設平移的時間為t秒，平移后的直尺為W′X′Y′Z′，其中邊X′Y′所在的直線與x軸交于點M，與拋物線的其中一個交點為點N，請直接寫出當t為何值時，可使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵S△CEF= EFyC= ×2m=6，

∴m=6，即點C的坐標為（4，6），

將點C（4，6）代入拋物線y=ax2+2x+6（a≠0）中，

得：6=16a+8+6，解得：a=﹣ ，

∴該拋物線的解析式為y=﹣ x2+2x+6

（2）

解：假設存在．過點P作y軸的平行線，交x軸與點M，交直線AC于點N，如圖1所示．

令拋物線y=﹣ x2+2x+6中y=0，則有﹣ x2+2x+6=0，

解得：x1=﹣2，x2=6，

∴點A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（6，0）．

設直線AC的解析式為y=kx+b，點P的坐標為（n，﹣ n2+2n+6）（﹣2＜n＜4），

∵直線AC過點A（﹣2，0）、C（4，6），

∴ ，解得： ，

∴直線AC的解析式為y=x+2．

∵點P的坐標為（n，﹣ n2+2n+6），

∴點N的坐標為（n，n+2）．

∵S△ACP= PN（xC﹣xA）= ×（﹣ n2+2n+6﹣n﹣2）×[4﹣（﹣2）]=﹣ （n﹣1）2+ ，

∴當n=1時，S△ACP取最大值，最大值為 ，

此時點P的坐標為（1， ）．

∴在直線AC上方的拋物線上存在一點P，使得△ACP的面積最大，面積的最大值為 ，此時點P的坐標為（1， ）

（3）

解：∵直尺WXYZ與x軸負方向成45°放置，

∴設直線CD的解析式為y=﹣x+c，

∵點C（4，6）在直線CD上，

∴6=﹣4+c，解得：c=10，

∴直線CD的解析式為y=﹣x+10．

聯立直線CD與拋物線解析式成方程組： ，

解得： ，或 ，

∴點D的坐標為（2，8）．

令直線CD的解析式y=﹣x+10中y=0，則0=﹣x+10，

解得：x=10，即點E的坐標為（10，0），

∵EF=2，且點E在點F的左邊，

∴點F的坐標為（12，0）．

設點M的坐標為（12﹣2t，0），則點N的坐標為（12﹣2t﹣2，0+2），即N（10﹣2t，2）．

∵點N（10﹣2t，2）在拋物線y=﹣ x2+2x+6的圖象上，

∴﹣ （10﹣2t）2+2（10﹣2t）+6=2，整理得：t2﹣8t+13=0，

解得：t1=4﹣ ，t2=4+ ．

∴當t為4﹣ 或4+ 秒時，可使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形

【解析】（1）根據三角形的面積公式求出m的值，結合點C的坐標利用待定系數法即可求出a值，從而得出結論；（2）假設存在．過點P作y軸的平行線，交x軸與點M，交直線AC于點N．根據拋物線的解析式找出點A的坐標．設直線AC的解析式為y=kx+b，點P的坐標為（n，﹣ n2+2n+6）（﹣2＜n＜4），由點A、C的坐標利用待定系數法即可求出直線AC的解析式，代入x=n，即可得出點N的坐標，利用三角形的面積公式即可得出S△ACP關于n的一元二次函數，根據二次函數的性質即可解決最值問題；（3）根據直尺的擺放方式可設出直線CD的解析式為y=﹣x+c，由點C的坐標利用待定系數法即可得出直線CD的解析式，聯立直線CD的解析式與拋物線的解析式成方程組，解方程組即可求出點D的坐標，令直線CD的解析式中y=0，求出x值即可得出點E的坐標，結合線段EF的長度即可找出點F的坐標，設出點M的坐標，結合平行四邊形的性質以及C、D點坐標的坐標即可找出點N的坐標，再由點N在拋物線圖象上，將其代入拋物線解析式即可得出關于時間t的一元二次方程，解方程即可得出結論．本題考查了三角形的面積公式、待定系數法求函數解析式、二次函數的性質、解二元二次方程組、平行四邊形的性質以及解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）求出點C的坐標；（2）利用二次函數的性質解決最值問題；（3）用時間t表示出來點N的坐標．本題屬于中檔題，難度不大，但較繁瑣，解決該題型題目時，聯立函數解析式成方程組，解方程組求出交點坐標是關鍵．
【考點精析】掌握二次函數的性質和三角形的面積是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；三角形的面積=1/2×底×高．