Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于點和點，交軸于點.過點作軸，交拋物線于點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若直線與線段、分別交于、兩點，過點作軸于點，過點作軸于點，求矩形的最大面積；

（3）若直線將四邊形分成左、右兩個部分，面積分別為、，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）3；（3）.

【解析】（1）利用待定系數法即可得出結論；

（2）先利用待定系數法求出直線AD，BD的解析式，進而求出G，H的坐標，進而求出GH，即可得出結論；

（3）先求出四邊形ADNM的面積，再求出直線y＝kx＋1與線段CD，AB的交點坐標，即可得出結論．

（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（1，0），

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3；

（2）由（1）知，拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴x2+2x﹣3=﹣3，

∴x=0或x=﹣2，

∴D（﹣2，﹣3），

∵A（﹣3，0）和點B（1，0），

∴直線AD的解析式為y=﹣3x﹣9，直線BD的解析式為y=x﹣1，

∵直線y=m（﹣3＜m＜0）與線段AD、BD分別交于G、H兩點，

∴G（﹣m﹣3，m），H（m+1，m），

∴GH=m+1﹣（﹣m﹣3）=m+4，

∴S矩形GEFH=﹣m（m+4）=﹣（m2+3m）=﹣（m+）2+3，

∴m=﹣，矩形GEFH的最大面積為3．

（3）∵A（﹣3，0），B（1，0），

∴AB=4，

∵C（0，﹣3），D（﹣2，﹣3），

∴CD=2，

∴S四邊形ABCD=×3（4+2）=9，

∵S1：S2=4：5，

∴S1=4，

如圖，設直線y=kx+1與線段AB相交于M，與線段CD相交于N，

∴M（﹣，0），N（﹣，﹣3），

∴AM=﹣+3，DN=﹣+2，

∴S1=（﹣+3﹣+2）×3=4，

∴k=