Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC的直角邊AC與Rt△DEF的直角邊DF在同一條直線上，且AC=60cm，BC=45cm，DF=6cm，EF=8cm．現將點C與點F重合，再以4cm/s的速度沿

CA方向移動△DEF；同時，點P從點A出發，以5cm/s的速度沿AB方向移動．設移動時間為t（s），以點P為圓心，3t（cm）長為半徑的⊙P與直線AB相交于點M，N，當點F與點A重合時，△DEF與點P同時停止移動，在移動過程中：

（1）連接ME，當ME∥AC時，t=________s；

（2）連接NF，當NF平分DE時，求t的值；

（3）是否存在⊙P與Rt△DEF的兩條直角邊所在的直線同時相切的時刻？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】

【解析】試題分析：（1）作，垂足為，作 垂足為．首先可求得的正弦和余弦值，在中可求得的長，然后再求得的長，接下來，再求得的長，最后依據列方程求解即可；
（2）連結NF交DE與點G，則G為DE的中點．先證明從而可證明 然后再證明是直角三角形，然后利用銳角三角函數的定義可求得AF的長，然后依據列方程求解即可；
（3）如圖3所示：過點P作，垂足為H，當與EF相切時，且點為G，連結PG．先證明，然后可得到 然后依據列方程求解即可；如圖4所示：連接GP，過點P作 垂足為H．先證明，然后可得到 然后依據列方程求解即可．

試題解析：(1)如圖1所示：作MH⊥AC，垂足為H，作OG⊥AC，垂足為G.

∵在Rt△ABC中，AC=60，BC=45，

∴AB=75cm.

∴AM=5t3t=2t.

當MEAC時,MH=EF,即 解得

故答案為：

(2)如圖2所示：連結NF交DE與點G，則G為DE的中點,

∵AC=60cm，BC=45cm，DF=6cm，EF=8cm，

又

∴△EDF∽△ABC.

∴∠A=∠E.

∵E是DE的中點，

∴∠DFD=∠GDF.

又∵FC=4t，

∴10t+4t=60,解得

(3)如圖3所示：過點P作PH⊥AC，垂足為H，當⊙P與EF相切時，且點為G，連結PG.

∵EF是⊙P的切線，

∴四邊形PGFH為矩形,

∴PG=HF.

∵⊙P的半徑為3t,

∴PH=3t.

∴⊙P與AC相切,

∵EF為⊙P的切線，

∴PG⊥EF.

∴HF=PG=3t.

∵AH=45AP=4t，FC=4t，

∴4t+3t+4t=60,解得

如圖4所示：連接GP，過點P作PH⊥AC，垂足為H.

由題意得可知：AH=4t，CF=4t.

∵EF是⊙P的切線，

∴四邊形PGFH為矩形,

∴PG=HF.

∵GP=FH，

∴FH=3t.

∴4t+4t3t=60，解得：t=12.

綜上所述,當t的值為或12時，⊙P與Rt△DEF的兩條直角邊所在的直線同時相切.