Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，AC=20,點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)E、F分別是線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合），且∠CEF=∠ACB.

（1）直接寫出BC的長是 ， 點(diǎn)D的坐標(biāo)是；
（2）證明：△AEF與△DCE相似；
（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）12,（12,0）
（2）證明：∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴∠CDE=∠CAO，
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，
∴∠CDE=∠CEF，
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE，
∴∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE.
（3）解：當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，有以下三種情況：
①當(dāng)CE=EF時(shí)，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE，
∴AE=CD=20，
∴OE=AE－OA=20－12=8，
∴E（8，0）.
②當(dāng)EF=FC時(shí)，
如圖所示，過點(diǎn)F作FM⊥CE于M，則點(diǎn)M為CE中點(diǎn)，
∴CE=2ME=EF，
∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴CD=AC=20，
∵△AEF∽△DCE，
∴ =，
∴AE=，
∴OE=AE－OA=，
∴E（，0）.
③當(dāng)CE=CF時(shí)，則有∠CFE=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=∠CAO，
即此時(shí)F點(diǎn)與A點(diǎn)重合，這與已知條件矛盾.
綜上所述，當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（8，0）或（，0）.

【解析】解（1）∵四邊形ABCO為矩形，
∴AO=BC，AB=OC，
又∵AB=16，AC=20，
∴BC=AO=12，
∴A（-12，0），
∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴D（12，0）.
所以答案是：12，（12，0）.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對(duì)等角）；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．