Question

【題目】閱讀下列材料：數學課上，老師出示了這樣一個問題：

如圖1，在等邊中，點、在上，且，直線交于點，交延長線于點，且，探究線段之間的數量關系，并證明．

某學習小組的同學經過思考，交流了自己的想法：

小明：“通過觀察和度量，發現與存在某種數量關系”；

小強：“通過觀察和度量，發現圖1中有一條線段與相等”；

小偉：“通過構造三角形，證明三角形全等，進而可以得到線段之間的數量關系”．

……

老師：“保留原題條件，再過點作交于與相交于點（如圖2）如果給出的值，那么可以求出的值”．

請回答：

（1）在圖1中找出與數量關系，并證明；

（2）在圖1中找出與線段相等的線段，并證明；

（3）探究線段之間的數量關系，并證明；

（4）若，求的值（用含的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1），理由見詳解；（2），理由見詳解；（3），理由見詳解；（4）

【解析】

（1）先根據三角形內角和定理得：∠BDF+∠DEG＝120°，由三角形外角的性質得：∠DEG＝60°+∠BCE，代入可得結論；

（2）先判斷出△ACD≌△BCE（SAS），得出∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，進而判斷出∠ACD＝∠P，得CD＝DP，即可得出結論；

（3）如圖2，作輔助線構建三角形全等，證明，得，，設，則，，由勾股定理得：，列方程可得結論；

（4）如圖3，作輔助線，設，，，，，證明，由得，，得，由，得，即，計算，證明，可得結論．

解：（1）如圖1，∠BCE+∠BDF＝60°，

證明：∵∠DGE＝60°，

∴∠BDF+∠DEG＝180°﹣60°＝120°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝60°，

∵∠DEG＝∠B+∠BCE，

∴∠BDF+60°+∠BCE＝120°，

∴∠BCE+∠BDF＝60°；

（2）DP＝CE，

證明：如圖1，連接CD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC＝∠B＝60°，AC＝BC，

∵AD＝BE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，

∵∠CAB＝∠P+∠ADP＝∠P+∠BDF＝60°，

由（1）知：∠BDF+∠BCE＝60°，

∴∠P＝∠BCE＝∠ACD，

∴CD＝DP，

∴CE＝DP；

（3）結論：AD2+ADBD+BD2＝CE2，

證明：如圖2，在邊AC上截取AH＝AD，連接DH，過D作DM⊥AC于M，連接CD，

∴∠CAB＝60°，

∴△ADH是等邊三角形，

∴AD＝DH＝AH，∠AHD＝60°，

∴∠DHC＝∠PAD＝120°，

由（2）知CD＝PD，∠P＝∠ACD，

∴△DHC≌△DAP（AAS），

∴CH＝AP，

∵AC＝AB，AH＝AD，

∴AC﹣AH＝AB﹣AD，即CH＝BD，

∴BD＝AP，

Rt△ADM中，∠ADM＝30°，

設，則，，

中，由勾股定理得：，

，

；

（4）如圖3，連接CD，過H作HQ∥DF，交CD于Q，則∠QHD＝∠MDG，

設CH＝x，FH＝y，FG＝a，DG＝na，CE＝CD＝ma，

∵DH∥AC，

∴∠DHF＝∠ACB＝60°，

∵∠CGF＝∠DGE＝60°，

∴∠DHF＝∠CGF，

∵∠DFH＝∠CFG，

∴∠MDG＝∠MCH，△CGF∽△DHF，

∵DH∥AC，

∴∠CDH＝∠ACD＝∠GCF＝∠MDG＝∠QHD，

∴QH＝QD，

∵QH∥DF，

，，

，，

，即，

，

，

，即，

，

，

∵∠MCH＝∠MDG，∠CMH＝∠DMG，

∴△CMH∽△DMG，

．