Question

【題目】如圖，拋物線與軸分別交于點，，與軸交于點，頂點為，對稱軸交軸于點．

（1）求拋物線的解析式．

（2）若點是拋物線的對稱軸上的一點，以點為圓心的圓經過，兩點，且與直線相切，求點的坐標．

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使得與相似？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為或；（3）存在，點的坐標為或

【解析】

（1）由題意把點A、點B的坐標代入拋物線解析式，用待定系數法可得到二次函數的表達式；

（2）根據題意設直線CD切⊙P于點E．連結PE、PA，作CF⊥DQ于點F．通過DF與CF的長，說明△DCF為等腰直角三角形．設點P（1，m），用含m的代數式表示出半徑EP、PA的長，根據半徑間關系，求出m的值從而確定點P的坐標．

（3）根據題意利用等腰直角三角形，先求出DC和BC的長，由于∠CBQ=∠CDM，若△DCM與△BQC相似，分兩種情況，利用比例線段求出滿足條件的點M的坐標即可．

解：（1）∵，在拋物線上，

代入，得，

解得

∴拋物線的解析式為．

（2）如圖1，設直線切于點，連接，，作于點．

∴．

由，得對稱軸為直線，，．

∴，，∴，

∴為等腰直角三角形，

∴，

∴，

∵，

∴為等腰直角三角形．

設，則．

在中，，

∴，

∴．

整理，得，

解得．

∴點的坐標為或．

（3）存在點，使得．

如圖2，連接，，，

∵，，，

∴為等腰直角三角形，

∴，．

由（2）可知，，

∴．

∴與相似有兩種情況，

當時，，解得，

∴．

∴

當時，，解得，

∴，

∴．

綜上，點的坐標為或．