Question

【題目】已知函數f（x）= x3﹣ x2+logax，（a＞0且a≠1）為定義域上的增函數，f'（x）是函數f（x）的導數，且f'（x）的最小值小于等于0． （Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）設函數 ，且g（x1）+g（x2）=0，求證： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解： ， 由f（x）為增函數可得，f'（x）≥0恒成立，即 ，得 ，
設m（x）=2x3﹣3x2 ， 則m'（x）=6x2﹣6x（x＞0），
由m'（x）=6x（x﹣1）＞0，得x＞1，由m'（x）=6x（x﹣1）＜0，得0＜x＜1．
∴m（x）在（0，1）上減，在（1，+∞）上增，在1處取得極小值即最小值，
∴m（x）min=m（1）=﹣1，則 ，即 ，
當a＞1時，易知a≤e，當0＜a＜1時，則 ，這與 矛盾，從而不能使得f'（x）≥0恒成立，
∴a≤e；
由f'（x）min≤0可得， ，即 ，
由之前討論可知， ，當1＞a＞0時， 恒成立，
當a＞1時，由1≥ ，得a≥e，
綜上a=e；
（Ⅱ）證明： ，
∵g（x1）+g（x2）=0，
∴ ，
∴ ，
即 ，
則
∴ ，
令x1x2=t，g（t）=lnt﹣t，
則 ，g（t）在（0，1）上增，在（1，+∞）上減，g（t）≤g（1）=﹣1，
∴ ，
整理得 ，
解得 或 （舍），
∴ ．
【解析】（Ⅰ）求出原函數的導函數，由題意可得f'（x）≥0恒成立，即 ，構造函數m（x）=2x3﹣3x2 ， 利用導數求其最小值，由其最小值大于等于 可得a≤e；再由f'（x）min≤0求得a≥e，可得a=e； （Ⅱ）由 ，結合g（x1）+g（x2）=0，可得 ，令x1x2=t，g（t）=lnt﹣t，求導可得g（t）≤g（1）=﹣1，得到 ，求解得答案．