Question

【題目】如圖1，有一組平行線l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四個頂點分別在l1，l2，l3，l4上，EG過點D且垂直l1于點E，分別交l2，l4于點F，G，EF=DG=1，DF=2．

（1）AE=__________，正方形ABCD的邊長=__________；

（2）如圖2，將∠AEG繞點A順時針旋轉得到∠AE′D′，旋轉角為α（0°＜α＜90°），點D′在直線l3上，以AD′為邊在E′D′左側作菱形AB′C′D′，使B′、C′分別在直線l2，l4上．

①寫出∠B′AD′與α的數量關系并給出證明；

②若α=30°，直接寫出菱形AB′C′D′的邊長為__________．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①∠B'AD'=90°-α；（3）

【解析】分析：

（1）如下圖1，由圖結合已知條件可證得△AED≌△DGC，由此即可得到AE=DG=1；

（2）①如下圖2，過點B′作B′M垂直于l1于點M，通過證Rt△AED′≌Rt△B′MA可得∠D′AE+∠B′AM=90°，由此可得∠B′AD′+α=90°，即∠B′AD′=90°-α；

②如下圖2，由l1∥l2∥l3可過點E′作E′O⊥l1于點O，E′O⊥l3于點N，當α=30°時，易得OE=AE=，∠D′EN=30°，結合ON=3可得EN=，由此易得D′E=，這樣在Rt△AD′E中即可由勾股定理求得AD′的長.

詳解：

（1）如下圖1，由題意可得∠AEF=∠ADC=∠CGD=90°，

∴∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

又∵AD=CD，

∴△AED≌△DGC，

∴AE=DG=1，

又∵DE=EF+FD=1+2=3，

∴AD=，即正方形ABCD的邊長為；

（2）①∠B′AD′=90°-α；理由如下：

如下圖2，過點B′作B′M垂直于l1于點M，

∴∠B′MA=∠D′EA=90°，

由（1）可知MB′=AE=1，又∵AB′=ED′，

∴Rt△AED′≌Rt△B′MA，

∴∠B′AM=∠AD′E，

又∵∠D′AE+∠AD′E=90°，

∴∠D′AE+∠B′AM=90°，

∴∠B′AD′+α=90°，即∠B′AD′=90°-α；

（3）如上圖2，由由l1∥l2∥l3可過點E′作E′O⊥l1于點O，E′O⊥l3于點N，

∵α=30°，

∴OE==AE=，∠D′EN=30°，

又∵ON=3，

∴EN=，

∴在Rt△D′EN中，D′E=，

∴在Rt△AD′E中，AD′=，

即菱形AB′C′D′的邊長為.