Question

【題目】如圖，邊長一定的正方形ABCD，Q為CD上一個動點，AQ交BD于點M，過M作MN⊥AQ交BC于點N，作NP⊥BD于點P，連接NQ，下列結論：①AM=MN；②MP= BD；③BN+DQ=NQ；④ 為定值．其中一定成立的是 .

Answer 1

【答案】①②③④
【解析】解：如圖1所示：

作AU⊥NQ于U，連接AN，AC，

∵∠AMN=∠ABC=90°，

∴A，B，N，M四點共圓，

∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，

∴∠ANM=∠NAM=45°，

∴AM=MN，故①正確．

由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，

在△AHM和△MPN中，

，

∴△AHM≌△MPN（AAS），

∴MP=AH= AC= BD，故②正確，

∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，

∴△ADQ繞點A順時針旋轉90度至△ABR，使AD和AB重合，連接AN，

則∠RAQ=90°，△ABR≌△ADQ，

∴AR=AQ，∠RAN=90°﹣45°=45°=∠NAM，

在△AQN和△ANR中，

，

∴△AQN≌△ANR（SAS），

∴NR=NQ，

則BN=NU，DQ=UQ，

∴點U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ，故③正確．

如圖2所示，作MS⊥AB，垂足為S，作MW⊥BC，垂足為W，點M是對角線BD上的點，

∴四邊形SMWB是正方形，

∴MS=MW=BS=BW，∠SMW=90°，

∴∠AMS=∠NMW，

在△AMS和△NMW中，

，

∴△AMS≌△NMW（ASA），

∴AS=NW，

∴AB+BN=SB+BW=2BW，

∵BW：BM=1： ，

∴ = = ，故④正確．

所以答案是：①②③④．