Question

【題目】如圖，直線和直線互相垂直，垂足為，直線于點B，E是線段AB上一定點，D為線段OB上的一動點（點D不與點O、B重合），直于點，連接AC．

（1）當，則___________°；

（2）當時，請判斷CD與AC的位置關系，并說明理由；

（3）若、的角平分線的交點為P，當點D在線段上運動時，問的大小是否會發(fā)生變化？若不變，求出的大小，并說明理由；若變化，求其變化范圍．

Answer 1

【答案】（1）40°；（2）AC⊥CD，理由見解析；（3）∠P=45°，理由見解析

【解析】

（1）首先根據(jù)題意得出∠EDB+∠BED=90°，∠CDO+∠EDB=90°，由此可以求出∠CDO度數(shù)，最后進一步求出答案即可；

（2）由（1）可得∠CDO=∠BED，然后進一步利用“同位角相等，兩直線平行”證明CD∥AC，最后利用平行線性質進一步求證即可；

（3）連接PD并延長，首先根據(jù)角平分線性質得出∠1=∠OCD，∠2=∠BED，由此結合題意進一步得出∠1+∠2=45°，再根據(jù)三角形外角性質得出∠5=∠3∠1，∠6=∠4∠2，據(jù)此利用∠P=∠5+∠6進一步計算即可.

（1）∵直線，CD⊥DE，

∴∠EDB+∠BED=90°，∠CDO+∠EDB=90°，

∴∠CDO=∠BED=50°，

∵直線和直線互相垂直，

∴∠OCD=40°；

（2）由（1）可得：∠CDO=∠BED，

∵，

∴∠A=∠BED，

∴AC∥DE，

∵CD⊥DE，

∴AC⊥CD；

（3）∠P的大小不會發(fā)生變化，理由如下：

如圖，連接PD并延長，

∵CP平分∠OCD，PE平分∠BED，

∴∠1=∠OCD，∠2=∠BED，

即∠1+∠2=(∠OCD+∠BED)，

∵∠CDO=∠BED，

∴∠OCD+∠BED=∠OCD+∠CDO=90°，

∴∠1+∠2=45°，

∵CD⊥DE，

∴∠3+∠4=90°，

∵∠5=∠3∠1，∠6=∠4∠2，

∴∠P=∠5+∠6=∠3∠1+∠4∠2=∠3+∠4(∠1+∠2)=45°，

即∠P的大小是定值45°.