Question

【題目】（1）問題發現：如圖1，是等邊三角形，點是邊上的一點，過點作交于，則線段與有何數量關系是______；

（2）拓展探究：如圖2，將繞點逆時針旋轉角，上面的結論是否仍然成立？如果成立，請就圖2給出的情況加以證明；

（3）問題解決：如果的邊長為4，，直接寫出當旋轉、、在同一條直線上時的長.

Answer 1

【答案】（1），見解析；（2）仍然成立，見解析；（3）或.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得到∠B=∠C=60°，AB=AC，再利用平行的性質證得∠ADE=∠AED，從而得到AD=AE，最后根據線段之間的關系即可得到結論；

（2）證明△BAD≌△CAE，即可得到結論；

（3）分順時針旋轉和逆時針旋轉兩種情況，畫出圖形，然后根據線段之間的關系即可計算出BE的長度.

解：（1）BD=CE，理由是：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠B=∠C=60°，

∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

∴∠ADE=∠AED=60°，

∴AD=AE，

∴AB－AD=AC－AE，

∴BD=CE；

（2）仍然成立.

證明：∵是等邊三角形，DE∥BC，

∴是等邊三角形，

∴，，，

∴，即，

∴，

∴；

（3）當順時針旋轉到、、在同一條直線上時：

∴BE=AB－AE=4－2=2，

當逆時針旋轉到、、在同一條直線上時：

∴BE=AB+AE=4+2=6，

綜上所述，BE=2或6.