Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，點P在線段AB上運動，設AP=x，現將紙片折疊，使點D與點P重合，得折痕EF（點E、F為折痕與矩形邊的交點），再將紙片還原．

（1）當點E與點A重合時，折痕EF的長為 ；

（2）寫出使四邊形EPFD為菱形的x的取值范圍，并求出當x=2時菱形的邊長；

（3）令EF2=y，當點E在AD、點F在BC上時，寫出y與x的函數關系式（寫出x的取值范圍）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）m=1.25，此時菱形EPFD的邊長為1.25；（3）0≤x≤3﹣2．

【解析】

試題分析：（1）當點E與點A重合時，得出∠DEF=∠FEP=45°，利用勾股定理得出答案即可；

（2）結合EF的長度得出x的取值范圍，當x=2時，設PE=m，則AE=2﹣m，利用勾股定理得出答案；

（3）構造直角三角形，利用相似三角形的對應線段成比例確定y的值．

解：（1）∵紙片折疊，使點D與點P重合，得折痕EF，

當點E與點A重合時，

∵點D與點P重合是已知條件，

∴∠DEF=∠FEP=45°，

∴∠DFE=45°，即：ED=DF=1，

利用勾股定理得出EF=，

∴折痕EF的長為 ．

故答案為：；

（2）∵要使四邊形EPFD為菱形，

∴DE=EP=FP=DF，

只有點E與點A重合時，EF最長為，此時x=1，

當EF最長時，點P與B重合，此時x=3，

∴探索出1≤x≤3

當x=2時，如圖，連接DE、PF．

∵EF是折痕，

∴DE=PE，設PE=m，則AE=2﹣m

∵在△ADE中，∠DAP=90°，

∴AD2+AE2=DE2，即12+（2﹣m）2=m2，

解得 m=1.25，此時菱形EPFD的邊長為1.25；

（3）過E作EH⊥BC；

∵∠EDO+∠DOE=90°，∠FEO+∠EOD=90°，

∴∠ODE=∠FEO，

∴△EFH∽△DPA，

∴，

∴FH=3x；

∴y=EF2=EH2+FH2=9+9x2；

當F與點C重合時，如圖，連接PF；

∵PF=DF=3，

∴PB=，

∴0≤x≤3﹣2．