Question

【題目】將兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．
（1）將圖1中△A1B1C繞點C順時針旋轉45°得圖2，點P1是A1C與AB的交點，點Q是A1B1與BC的交點，求證：CP1=CQ；
（2）在圖2中，若AP1=a，則CQ等于多少？
（3）將圖2中△A1B1C繞點C順時針旋轉到△A2B2C（如圖3），點P2是A2C與AP1的交點．當旋轉角為多少度時，有△AP1C∽△CP1P2？這時線段CP1與P1P2之間存在一個怎樣的數量關系？．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，

∴∠B1CQ=∠BCP1=45°；

又B1C=BC，∠B1=∠B，

∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）

∴CQ=CP1；

（2）解：如圖：作P1D⊥AC于D，

∵∠A=30°，

∴P1D= AP1；

∵∠P1CD=45°，

∴ =sin45°= ，

∴CP1= P1D= AP1；

又AP1=a，CQ=CP1，

∴CQ= a；

（3）解：當∠P1CP2=∠P1AC=30°時，由于∠CP1P2=∠AP1C，則△AP1C∽△CP1P2，

所以將圖2中△A1B1C繞點C順時針旋轉30°到△A2B2C時，有△AP1C∽△CP1P2．

這時 = = ，

∴P1P2= CP1．

【解析】（1）根據△A1B1C和△ABC是兩個完全一樣的三角形，順時針旋轉45°兩個條件證明△B1CQ≌△BCP1 ， 然后可求證：CP1=CQ；（2）作P1D⊥AC于D，根據∠A=30，∠P1CD=45°分別求出P1D= AP1 ， CP1= P1D= AP1 ， 而AP1=a可求CQ．（3）當△A P1C∽△CP1P2時，∠P1CP2=∠P1AC=30°，再根據相似求出CP1與P1P2之間存在的數量關系．
【考點精析】認真審題，首先需要了解相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)，還要掌握旋轉的性質(①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了)的相關知識才是答題的關鍵．