Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸交于、兩點，點在原點的左側，點的坐標為，與軸交于點，點是直線下方的拋物線上一動點．

求這個二次函數的表達式．

連接、，并把沿翻折，得到四邊形，那么是否存在點，使四邊形為菱形？若存在，請求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由．

當點運動到什么位置時，四邊形的面積最大？求出此時點的坐標和四邊形的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為；（3）點的坐標為，四邊形的面積的最大值為．

【解析】

（1）將B、C的坐標代入拋物線的解析式中即可求得待定系數的值；

（2）由于菱形的對角線互相垂直平分，若四邊形POP′C為菱形，那么P點必在OC的垂直平分線上，據此可求出P點的縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標；

（3）由于△ABC的面積為定值，當四邊形ABPC的面積最大時，△BPC的面積最大；過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線BC的解析式，可設出P點的橫坐標，然后根據拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點橫坐標的絕對值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關于四邊形ACPB的面積與P點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出四邊形ABPC的最大面積及對應的P點坐標．

解：將、兩點的坐標代入得，

解得：；

所以二次函數的表達式為：；

存在點，使四邊形為菱形；

設點坐標為，交于

若四邊形是菱形，則有；

連接，則于，

∵，

∴，

又∵，

∴

∴；

∴

解得，（不合題意，舍去），

∴點的坐標為

過點作軸的平行線與交于點，與交于點，設，

設直線的解析式為：，

則，

解得：

∴直線的解析式為，

則點的坐標為；

當，

解得：，，

∴，，

當時，四邊形的面積最大

此時點的坐標為，四邊形的面積的最大值為．