Question

【題目】如圖1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉．

（1）在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N．

①求證:DM＝DN；

②在這一旋轉過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發生變化？若發生變化，請說明是如何變化的？若不發生變化，求出其面積；

（2）繼續旋轉至如圖2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

（3）繼續旋轉至如圖3的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？請寫出結論，不用證明．

Answer 1

【答案】（1）①證明詳見解析；②四邊形DMBN的面積不發生變化，理由詳見解析；

（2）DM=DN仍然成立，理由詳見解析；（3）DM=DN．

【解析】

試題分析：（1）①連接DB，根據AAS證明△BMD≌△CND，所以DM=DN；

②由①知△BMD≌△CND，所以，所以四邊形DMBN的面積等于△ABC的面積的一半；

（2）連接DB，依然可以證得△BMD≌△CND，所以DM=DN；

（3）根據（2）的思路可以得到DM=DN．

試題解析：（1）①證明：連接DB，

在Rt△ABC中，因為AB=BC，AD=DC，所以DB=DC=AD，∠BDC=90°，

所以∠ABD=∠C=45°，

因為∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°，

所以∠MDB=∠NDC，

所以△BMD≌△CND，所以DM=DN．

②四邊形DMBN的面積不發生變化，理由如下：

由①知△BMD≌△CND，所以，所以==．

（2）DM=DN仍然成立，理由如下：

連接DB，在Rt△ABC中，因為AB=BC，AD=DC，所以DB=DC=AD，∠BDC=90°，所以∠DCB=∠DBC=45°，所以∠DBM=∠DCN=135°，因為∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°，所以∠MDB=∠NDC，所以△BMD≌△CND，所以DM=DN．

（3） DM=DN．