Question

【題目】如圖所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．求證：BF=2CF．

Answer 1

【答案】證明：連接AF，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C= =30°，
∵AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，
∴CF=AF（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等），
∴∠FAC=∠C=30°（等邊對(duì)等角），
∴∠BAF=∠BAC﹣∠FAC=120°﹣30°=90°，
在Rt△ABF中，∠B=30°，
∴BF=2AF（在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半），
∴BF=2CF（等量代換）．

【解析】利用輔助線，連接AF，求出CF=AF，∠BAF=90°，再根據(jù)AB=AC，∠BAC=120°可求出∠B的度數(shù)，由直角三角形的性質(zhì)即可求出BF=2AF=2CF．
【考點(diǎn)精析】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．