Question

【題目】在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm。點P從點A出發，以每秒3cm的速度沿折線ABCD運動，點Q從點D出發，以每秒2cm的速度沿線段DC方向向點C運動。已知動點P，Q同時出發，當點Q運動到點C時，P，Q運動停止，設運動時間為t秒.

（1）求CD的長.

（2）t為何值時？四邊形PBQD為平行四邊形.

（3）在點P，點Q的運動過程中，是否存在某一時刻，使得△BPQ的面積為20cm2？若存在，請求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）16；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）過點A作AM⊥CD于M，四邊形AMCB是矩形，AM=BC,AD是已知的，根據勾股定理求出DM,CM=AB,所以CD就求出來了；（2）當四邊形PBQD為平行四邊形時,點P在AB上，點Q在DC上，用t表示出BP,DQ的長，滿足BP=DQ,求出t值，則BP,DQ即可求出，然后求出CQ,用勾股定理求出BQ，四邊形PBQD的周長就求出來了；（3）D從Q到C需要8秒，所以t的范圍是0≤t≤8,Q根據P所在線段不同，分三種情況討論，即①當點P在線段AB上時，即時，用t表示出BP的長，列三角形BPQ的面積等于20的方程求解；②當點P在線段BC上時，即時，用t表示出BP,CQ的長，建立三角形BPQ的面積等于20的方程求解；③當點P在線段CD上時，因為他們相遇的時間是，若點P在Q的右側，即6≤t≤，用t表示出PQ的長，進而列出面積方程式求解；若點P在Q的左側，即，用t表示出PQ的長，列出面積方程式求解．

試題解析：（1）過點A作AM⊥CD于M，根據勾股定理，AD=10，AM=BC=8，∴DM==6，∴CD=16；（2）當四邊形PBQD為平行四邊形時，點P在AB上，點Q在DC上，如圖，由題知：AP=3t,BP=10﹣3t，DQ=2t，∴10﹣3t=2t，解得t=2，此時，BP=DQ=4，CQ=12，∴，∴四邊形PBQD的周長=2（BP+BQ）=；

（3）①當點P在線段AB上時，到B點時是秒，即時，如圖，BP=10﹣3t，BC=8，∴，∴．

②當點P在線段BC上時，P到達C點t值時6秒，即時，如圖，BP=AB+BP-AB=3t﹣10，DQ=2t,CQ=16﹣2t，∴，化簡得：3t2﹣34t+100=0，△=﹣44＜0，所以方程無實數解．此種情況不存在三角形BPQ的面積是20；

③當點P在線段CD上時，P點與Q點相遇時,可列2t+3t=10+8+16,t=,相遇時間是，若點P在Q的右側，即6≤t≤，則有PQ=34-（2t+3t）=34﹣5t，于是，解此方程得：

＜6，舍去，若點P在Q的左側，即，則有PQ=2t+3t-34=5t﹣34，可列方程：，解得：t=7．8．∴綜合得出滿足條件的t值存在，其值分別為，t2=7．8．