Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB的平分線交AB于點D，作CD的垂直平分線，分別交AC、DC、BC于點E、G、F，連接DE、DF．

（1）求證：四邊形DFCE是菱形；

（2）若∠ABC=60，∠ACB=45°，BD=2，試求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）1+

【解析】試題分析：（1）已知EF是DC的垂直平分線，可得DE=EC，DF=CF，∠EGC=∠FGC=90°，再由ASA證得△CGE≌△FCG，根據全等三角形的性質可得GE=GF，所以DE=EC=DF=CF，根據四條邊都相等的四邊形為菱形，即可判定四邊形DFCE是菱形；（2）過D作DH⊥BC于H，根據30°直角三角形的性質求得BH=1；在Rt△DHB中，根據勾股定理求得DH的長，再判定△DHF是等腰直角三角形，即可得DH=FH=，即可求得BF的長．

試題解析：

（1）證明：∵EF是DC的垂直平分線，

∴DE=EC，DF=CF，∠EGC=∠FGC=90°，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ECG=∠FCG，

∵CG=CG，

∴△CGE≌△FCG（ASA），

∴GE=GF，

∴DE=EC=DF=CF，

∴四邊形DFCE是菱形；

（2）過D作DH⊥BC于H，則∠DHF=∠DHB=90°，

∵∠ABC=60°，

∴∠BDH=30°，

∴BH=BD=1，

在Rt△DHB中，DH==，

∵四邊形DFCE是菱形，

∴DF∥AC，

∴∠DFB=∠ACB=45°，

∴△DHF是等腰直角三角形，

∴DH=FH=，

∴BF=BH+FH=1+．