Question

【題目】解答
（1）觀察與歸納：在如圖1所示的平面直角坐標系中，直線l與y軸平行，點A與點B是直線l上的兩點（點A在點B的上方）．

①小明發現：若點A坐標為（2，3），點B坐標為（2，﹣4），則AB的長度為；
②小明經過多次取l上的兩點后，他歸納出這樣的結論：若點A坐標為（t，m），點B坐標為（t，n），當m＞n時，AB的長度可表示為；
（2）如圖2，正比例函數y=x與一次函數y=﹣x+6交于點A，點B是y=﹣x+6圖象與x軸的交點，點C在第四象限，且OC=5．點P是線段OB上的一個動點（點P不與點O，B重合），過點P與y軸平行的直線l交線段AB于點Q，交射線OC于R，設點P橫坐標為t，線段QR的長度為m．已知當t=4時，直線l恰好經過點C．
①求點A的坐標；
②求OC所在直線的關系式；
③求m關于t的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）7；m﹣n
（2）

解：①解 得 ，

∴A（3，3）；

②∵直線l平行于y軸且當t=4時，直線l恰好過點C，如圖2，作CE⊥OB于E，

∴OE=4，

在Rt△OCE中，OC=5，

由勾股定理得：

CE= =3，

∴點C的坐標為：（4，﹣3）；

設OC所在直線的關系式為y=kx，則﹣3=4k，

∴k=﹣ ，

∴OC所在直線的關系式為y=﹣ x；

③由直線y=﹣x+6可知B（6，0），

作AD⊥OB于D，

∵A（3，3），

∴OD=BD=AD=3，

∴∠AOB=45°，OA=AB，

∴∠OAB=90°，∠ABO=45°

當0＜t≤3時，如圖2，

∵直線l平行于y軸，

∴∠OPQ=90°，

∴∠OQP=45°，

∴OP=QP，

∵點P的橫坐標為t，

∴OP=QP=t，

在Rt△OCE中，

∵tan∠EOC=|k|= ，

∴tan∠POR= = ，

∴PR=OPtan∠POR= t，

∴QR=QP+PR=t+ t= t，

∴m關于t的函數關系式為：m= t；

當3＜t＜6時，如圖3，

∵∠BPQ=90°，∠ABO=45°，

∴∠BQP=∠PBQ=45°，

∴BP=QP，

∵點P的橫坐標為t，

∴PB=QP=6﹣t，

∵PR∥CE，

∴△BPR∽△BEC，

∴ = ，

∴ = ，

解得：PR=9﹣ t，

∴QR=QP+PR=6﹣t+9﹣ t=15﹣ t，

∴m關于t的函數關系式為：m=15﹣ t；

綜上，m關于t的函數關系式為m=

【解析】解：（1）①若點A坐標為（2，3），點B坐標為（2，﹣4），則AB的長度為3﹣（﹣4）=7；②若點A坐標為（t，m），點B坐標為（t，n），當m＞n時，AB的長度可表示為m﹣n；
所以答案是7；m﹣n；
【考點精析】通過靈活運用正比例函數的圖象和性質和一次函數的圖象和性質，掌握正比函數圖直線，經過一定過原點．K正一三負二四，變化趨勢記心間．K正左低右邊高，同大同小向爬山．K負左高右邊低，一大另小下山巒；一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠即可以解答此題．