Question

【題目】如圖，在ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E為AB中點，點F在CB的延長線上，且EF∥BD.

(1)求證：四邊形OBFE是平行四邊形；

(2)當線段AD和BD之間滿足什么條件時，四邊形OBFE是矩形？并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

(1)首先證明OE是△ABC的中位線，推出OE∥BC，由EF∥OB，即可得出四邊形OBFE是平行四邊形；

(2)當AD⊥BD時，四邊形OBFE是矩形. 只要證明∠EOB＝90°即可解決問題．

(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴點O是AC的中點，

又∵點E是邊AB的中點，

∴OE是△ABC的中位線，

∴OE∥BC，

又∵點F在CB的延長線上，

∴OE∥BF，

∵EF∥BD，即EF∥OB，

∴四邊形OBFE是平行四邊形；

(2)當AD⊥BD時，四邊形OBFE是矩形.

理由：由(1)可知，四邊形OBFE是平行四邊形，

又∵AD⊥BD，AD∥BC，且點F在BC的延長線上，

∴FC⊥BD，

∴∠OBF＝90°，

∴四邊形OBFE是矩形．