Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，-1）．且對稱軸為．

（1）求拋物線的解析式及A、B兩點的坐標；

（2）點D在x軸下方的拋物線上，則四邊形ABDC的面積是否存在最大值，若存在，求出此時點D的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求出所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）、；A（-1，0），B（3，0）；（2）、D的坐標為（，）；P1（-4，7），P2（4，）；P3（2，-1）．

【解析】試題分析：（1）、根據點C的坐標和對稱軸求出函數解析式，然后得出點A和點B的坐標；（2）、首先設點D的坐標，將四邊形的面積轉化成△AOC+四邊形OCDM+△BMD的面積和得出關于a的二次函數，然后根據二次函數的性質求出最值；（3）、本題分①、AB為邊時，則需要滿足PQ∥AB，PQ=AB=4，得出點P的坐標，②當AB為對角線時，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，設線段AB中點為G，則PQ必過G點且與y軸交于Q點，過點P作x軸的垂線交于點H，可證得△PHG≌△QOG，從而得出點P的坐標.

試題解析：（1）、∵拋物線與y軸交于點C（0，-1）．且對稱軸為．∴，解得：，

∴拋物線解析式為，令，解得：，， ∴A（-1，0），B（3，0），

（2）、設D（，）（0＜a＜3），作DM⊥x軸于M，則S四邊形ABDC=S△AOC+S梯形OCDM+S△BMD，∴

∵，∴當時，S四邊形ABDC取得最大值， 此時，∴D的坐標為（，）

（3）、①當AB為邊時，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知點Q在y軸上，所以點P的橫坐標為-4或4，

當x=-4時，y=7；當x=4時，y=； 此時點P的坐標為P1（-4，7），P2的坐標為（4，）；

②當AB為對角線時，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，設線段AB中點為G，則PQ必過G點且與y軸交于Q點，過點P作x軸的垂線交于點H，可證得△PHG≌△QOG，

∴GO=GH，∵線段AB的中點G的橫坐標為1，∴此時點P橫坐標為2，由此當x=2時，y=-1，此時點P的坐標為P3（2，-1），

∴所以符合條件的點為：P1（-4，7），P2（4，）；P3（2，-1）．