Question

【題目】⊙O為△ABC的外接圓，過圓外一點P作⊙O的切線PA，且PA∥BC．

（1）如圖1，求證：△ABC為等腰三角形：

（2）如圖2，在AB邊上取一點E，AC邊上取一點F，直線EF交PA于點M，交BC的延長線于點N，若ME=FN，求證：AE=CF；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接OE、OF，∠EOF=120°，，EF=，求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）⊙O的半徑為4．

【解析】

試題分析：（1）如圖1中，易證明AB=AC，只要證明AD垂直平分BC即可．

（2）如圖2中，過點F作FK∥AB交BC于點K，只要證明△AME≌△KNF，△FKC是等腰三角形即可．

（3）如圖3中，過點E作EG⊥AM于G，過點F作FH⊥AM交MA的延長線于點H，作OD⊥AB于D，OK⊥AC于K，過點E作EQ⊥FH于點Q，連接OA、OC，則四邊形GEQH是矩形，首先證明△ABC是等邊三角形，設AG=a，AH=b，求出相應的線段，在RT△EFQ中，根據tan∠FMH=tan∠FEQ===，求出a、b的關系，再利用勾股定理求出a、b，最后根據AE+AF=2AD，求出AD，在RT△AOD中即可解決OA．

（1）證明：如圖1中，連接AO并延長交BC于點D，

∵PA切⊙O于點A，

∴PA⊥OA，即∠PAD=90°．

∵PA∥BC，

∴∠PAD=∠ADC=90°，

∴OD⊥BC，

∴根據垂徑定理可得BD=CD，

∴AD垂直平分BD，

∴AB=AC，即△ABC為等腰三角形；

（2）如圖2中，過點F作FK∥AB交BC于點K，

∵PA∥BC，FK∥AB，

∴∠AME=∠N，∠MAB=∠B．

∵∠B=∠FKC，

∴∠MAB=∠FKC．

在△AME和△KNF中，

，

∴△AME≌△KNF，

∴AE=FK，

∵FK∥AB，

∴∠B=∠FKC．

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠FKC=∠ACB，

∴FK=CF．

∵AE=FK，

∴AE=FC．

（3）如圖3中，過點E作EG⊥AM于G，過點F作FH⊥AM交MA的延長線于點H，作OD⊥AB于D，OK⊥AC于K．

過點E作EQ⊥FH于點Q，連接OA、OC，則四邊形GEQH是矩形，

由（1）知AB=AC，OA⊥BC，

∴∠OAB=∠OAC．

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠OCA=∠OAB，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF，

∴∠AOE=∠COF，

∴∠AOC=∠EOF=120°，

∴∠B=∠AOC=60°，∠OCA=∠OAC=30°．

∵AB=AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=60°．

∵PA∥BC，

∴∠MAE=∠B=60°．

∵EG⊥AM，∠MAE=60°，

∴∠AEG=30°，

同理∠AFH=30°，

設AG=a，AH=b，

∴EG=a，FH=b，AF=2AH=2b，

∵AB=AC，AE=CF，

∴BE=AF=2AM，

∴AM=AH=b，tan∠FMH=tan∠FEQ==，

在RT△EFQ中，

∵EQ=GH=a+b，QF=FH﹣HQ=FH﹣EG=（b﹣a），

∴=，

∴=，

∴b=3a，

∴（a+3a）2+[（3a﹣a）]2=（2），

∴a=，

∴AE=2，AF=3，

在△AOD和△AOK中，

△AOD≌△AOK，

∴OD=OK，AD=AK，

在RT△ODE和RT△OKF，

，

∴RT△EOD≌RT△FOK，

∴DE=FK，

∴AE+AF=AD﹣DE+AK+KF=2AD=4，

∴AD=2，

在RT△AOD中，∵AD=2，∠OAD=30°，

∴OD=2，AO=4，

∴⊙O的半徑為4．