Question

【題目】如圖1，在平面直徑坐標系中，拋物線與x軸交于點A（﹣3，0）．B（1，0），與y軸交于點C．

（1）直接寫出拋物線的函數解析式；

（2）以OC為半徑的⊙O與y軸的正半軸交于點E，若弦CD過AB的中點M，試求出DC的長；

（3）將拋物線向上平移個單位長度（如圖2）若動點P（x，y）在平移后的拋物線上，且點P在第三象限，請求出△PDE的面積關于x的函數關系式，并寫出△PDE面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）S△PDE=（＜x＜0），且△PDE面積的最大值為．

【解析】（1）將點A（﹣3，0）、B（1，0）代入中，得：，解得：，∴拋物線的函數解析式為．

（2）令中x=0，則y=﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，CE=4．

∵A（﹣3，0），B（1，0），點M為線段AB的中點，∴M（﹣1，0），∴CM==．

∵CE為⊙O的直徑，∴∠CDE=90°，∴△COM∽△CDE，∴，∴DC=．

（3）將拋物線向上平移個單位長度后的解析式為=，令中y=0，即，解得：=，=．

∵點P在第三象限，∴＜x＜0．

過點P作PP′⊥y軸于點P′，過點D作DD′⊥y軸于點D′，如圖所示．

在Rt△CDE中，CD=，CE=4，∴DE==，sin∠DCE==，在Rt△CDD′中，CD=，∠CD′D=90°，∴DD′=CDsin∠DCE=，CD′==，OD′=CD′﹣OC=，∴D（，），D′（0，），∵P（x，），∴P′（0，），∴S△PDE=S△DD′E+S梯形DD′P′P﹣S△EPP′=DD′ED′+（DD′+PP′）D′P′﹣PP′EP′=（＜x＜0），∵S△PDE==，＜＜0，∴當x=時，S△PDE取最大值，最大值為．

故：△PDE的面積關于x的函數關系式為S△PDE=（＜x＜0），且△PDE面積的最大值為．