Question

已知，如圖，AB為⊙O的直徑，弦DC延長線上有一點P，∠PAC＝∠PDA.
小題1:求證：PA是⊙O的切線；
小題2:若AD＝6，∠ACD＝60°, 求⊙O的半徑.
      

Answer 1

小題1:連結BD， 
　　　　　∵AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，∴∠ADB＝90°.
∴∠1＋∠2＝90°.              
∵∠1＝∠3， ∠2＝∠PAC，  
∴∠3＋∠PAC＝∠1＋∠2        
∴∠APB＝∠3＋∠PAC＝90°.　　　
又OA是⊙O的半徑，∴PA是⊙O的切線.
小題1:∵∠B＝∠ACD＝60°.
　　　　　　在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AD＝6.
　　　　　　設BD＝x,AB＝2x,
由AD²＋BD²＝AB²得　x²＋6²＝(2x)².
　　　　　　解得　x＝　　 　∴⊙O的半徑為.

要證明PA是⊙O的切線只要證明∠PAB=90°即可；已知PA是⊙O的切線，PCD是割線，則可以利用切割線定理來求得PD的長．