Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C，G是⊙O上兩點，且AC=CG，過點C的直線CD⊥BG于點D，交BA的延長線于點E，連接BC，交OD于點F．

（1）求證：CD是⊙O的切線．

（2）若，求∠E的度數．

（3）連接AD，在（2）的條件下，若CD=，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）30°；（3）．

【解析】

試題分析：（1）如圖1，連接OC，AC，CG，則有∠ABC=∠CBG，根據同圓的半徑相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，由等量代換得到∠OCB=∠CBG，根據平行線的判定得到OC∥BG，即可得到結論；

（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到，，根據直角三角形的性質即可得到結論；

（3）如圖2，過A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD，DE，BE，在Rt△DAH中，用勾股定理即可得到AD的長．

試題解析：（1）如圖1，連接OC，AC，CG，∵AC=CG，∴，∴∠ABC=∠CBG，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB=∠CBG，∴OC∥BG，∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；

（2）∵OC∥BD，∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，∴，∴，∵OA=OB，∴AE=OA=OB，∴OC=OE，∵∠ECO=90°，∴∠E=30°；

（3）如圖2，過A作AH⊥DE于H，∵∠E=30°，∴∠EBD=60°，∴∠CBD=∠EBD=30°，∵CD=，∴BD=3，DE=，BE=6，∴AE=BE=2，∴AH=1，∴EH=，∴DH=，在Rt△DAH中，AD===．