Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx﹣3過點A（﹣1，0），B（3，0），點M、N為拋物線上的動點，過點M作MD∥y軸，交直線BC于點D，交x軸于點E．過點N作NF⊥x軸，垂足為點F

(1)求二次函數y=ax2+bx﹣3的表達式；

(2)若M點是拋物線上對稱軸右側的點，且四邊形MNFE為正方形，求該正方形的面積；

(3)若M點是拋物線上對稱軸左側的點，且∠DMN=90°，MD=MN，請直接寫出點M的橫坐標．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣2x﹣3； (2) 正方形的面積為24+8或24﹣8； (3) 點M的橫坐標為﹣1或．

【解析】

（1）把A（﹣1，0），B（3，0）兩點的坐標代入y=ax2+bx﹣3，利用待定系數法即可求得二次函數y=ax2+bx﹣3的表達式；（2）設點M的坐標為（m，m2﹣2m﹣3），則m＞1，分別表示出ME=|﹣m2+2m﹣3|、MN=2m﹣2，由四邊形MNFE為正方形知ME=MN，據此列出方程，分類討論求解可得m的值，進而求出正方形的面積；（3）先利用待定系數法求出直線BC的解析式，設點M的坐標為（t，t2﹣2t﹣3），則t＜1，則點N（2﹣t，t2﹣2t﹣3），點D（t，t﹣3），由MD=MN列出方程，根據點M的位置分類討論求解可得．

(1)把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx﹣3，

得：，

解得，

故該拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3；

(2)由(1)知，拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴該拋物線的對稱軸是x=1，頂點坐標為（1，﹣4）．

如圖，設點M坐標為（m，m2﹣2m﹣3），其中m＞1，

∴ME=|﹣m2+2m+3|，

∵M、N關于x=1對稱，且點M在對稱軸右側，

∴點N的橫坐標為2﹣m，

∴MN=2m﹣2，

∵四邊形MNFE為正方形，

∴ME=MN，

∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2，

分兩種情況：

①當﹣m2+2m+3=2m﹣2時，解得：m1=、m2=﹣（不符合題意，舍去），

當m=時，正方形的面積為（2﹣2）2=24﹣8；

②當﹣m2+2m+3=2﹣2m時，解得：m3=2+，m4=2﹣（不符合題意，舍去），

當m=2+時，正方形的面積為[2（2+）﹣2]2=24+8；

綜上所述，正方形的面積為24+8或24﹣8．

(3)設BC所在直線解析式為y=px+q，

把點B（3，0）、C（0，﹣3）代入表達式，

得：，解得： ，

∴直線BC的函數表達式為y=x﹣3，

設點M的坐標為（t，t2﹣2t﹣3），其中t＜1，

則點N（2﹣t，t2﹣2t﹣3），點D（t，t﹣3），

∴MN=2﹣t﹣t=2﹣2t，MD=|t2﹣2t﹣3﹣t+3|=|t2﹣3t|．

∵MD=MN，

∴|t2﹣3t|=2﹣2t，

分兩種情況：

①當t2﹣3t=2﹣2t時，解得t1=﹣1，t2=2（不符合題意，舍去）．

②當3t﹣t2=2﹣2t時，解得t3=，t2=（不符合題意，舍去）．

綜上所述，點M的橫坐標為﹣1或．