Question

【題目】如圖， 是⊙O的直徑，點是的中點，連接并延長至點，使，點是上一點，且， 的延長線交的延長線于點， 交⊙O于點，連接.

（1）求證： 是⊙O的切線；

（2）當時，求的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BH =.

【解析】試題分析：（1）連接OC，由題意可得∠AOC=90°，OC//BD，從而得OB與BD垂直，問題得證；

（2）先證明△OCE∽△BFE，根據相似三角形對應邊成比例以及，求得BF=3，在Rt中，利用勾股定理求得，再利用 即可得.

試題解析：（1）連接OC，

∵AB為⊙O的直徑，點是的中點，∴∠AOC＝90°，

∵，∴OC是的中位線，∴OC∥BD，

∴∠ABD＝∠AOC＝90°，

∴，

∴是⊙O的切線；

（2）由（1）知OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴ ，

∵OB = 2，∴OC= OB = 2，AB = 4，∵ ，∴，∴BF=3，

在Rt中，∠ABF＝90°，，

∵ ，

∴.即，

∴BH =.