Question

【題目】如圖，在菱形，，.動點、分別從點、同時出發，以的速度向點、運動，連接、，取、的中點、，連接、.設運動的時間為.

（1）求證：；

（2）當為何值時，四邊形為菱形；

（3）試探究：是否存在某個時刻，使四邊形為矩形，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）1；（3）不存在，理由詳見解析

【解析】

（1）根據菱形的性質得到∠B=∠D，AD=BC，AB∥DC，推出△ADF≌△CBE，根據全等三角形的性質得到∠DFA=∠BEC，根據平行線的判定定理即可得到結論；

（2）過D作DM⊥AB于M，連接GH，EF，推出四邊形AECF是平行四邊形，根據菱形的判定定理即可得到四邊形EGFH是菱形，證得四邊形DMEF是矩形，于是得到ME=DF=t列方程即可得到結論；

（3）不存在，假設存在某個時刻t，使四邊形EHFG為矩形，根據矩形的性質列方程即可得到結果．

解：（1）證明：∵動點E、F同時運動且速度相等，

∴DF=BE，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠B=∠D，AD=BC，AB∥DC，

在△ADF與△CBE中，

，

∴△ADF≌△CBE，

∴∠DFA=∠BEC，

∵AB∥DC，

∴∠DFA=∠FAB，

∴∠FAB=∠BEC，

∴AF∥CE；

（2）如圖，過D作DM⊥AB于M，連接GH，EF，

∴DF=BE=t，

∵AF∥CE，AB∥CD，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵G、H是AF、CE的中點，

∴GH∥AB，

∵四邊形EGFH是菱形，

∴GH⊥EF，

∴EF⊥AB，∠FEM=90°，

∵DM⊥AB，

∴DM∥EF，

∴四邊形DMEF是矩形，

∴ME=DF=t，

∵AD=4，∠DAB=60°，DM⊥AB，

∴，

∴BE=4-2-t=t，

∴t=1；

（3）不存在，假設存在某個時刻t，使四邊形EHFG為矩形，

∵四邊形EHFG為矩形，

∴EF=GH，

∴，

即，

解得t=0，0＜t＜4，

∴與原題設矛盾，

∴不存在某個時刻t，使四邊形EHFG為矩形．