Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）作線段AB的垂直平分線DE，垂足為點E，交AC于點D，要求用尺規作圖，保留作圖痕跡，標注有關字母，不要求寫作法和證明；
（2）連接BD，直接寫出∠CBD的度數；
（3）如果△BCD的面積為4，請求出△BAD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，DE為所作；

（2）解：∵DE垂直平分AB，

∴DA=DB，

∴∠DBA=∠A=30°，

∵∠ABC=90°﹣∠A=60°，

∴∠CBD=∠ABC﹣∠DBA=60°﹣30°=30°；

（3）解：在Rt△BCD中，∵∠CBD=30°，

∴DB=2CD，

而DA=DB，

∴DA=2CD，

∴S△ABD=2S△BCD=8．

【解析】（1）利用基本作圖，作AB的垂直平分線即可；（2）利用垂直平分線的性質得DA=DB，則∠DBA=∠A=30°，然后計算∠ABC﹣∠DBA即可；（3）在Rt△BCD中利用含30度的直角三角形三邊的關系得到DB=2CD，則DA=2CD，然后根據三角形面積公式得到S△ABD=2S△BCD=8．
【考點精析】關于本題考查的線段垂直平分線的性質，需要了解垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等才能得出正確答案．