Question

【題目】如圖①，在△ABC中，AC=BC，點D為BC的中點，DE⊥AB，垂足為點E，過點B作BG∥AC交DE的延長線于點G．
（1）求證：DB=BG；
（2）當∠ACB=90°時，如圖②，連接AD、CG，求證：AD⊥CG．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AC=BC，

∴∠A=∠CBA，

∵AC∥BG，

∴∠A=∠GBA，即∠CBA=∠GBA，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=∠GEB，

在△DBE和△GBE中

∴△DBE≌△GBE（ASA），

∴DB=BG；

（2）證明：∵點D為BC的中點，

∴CD=DB，

∵DB=BG，

∴CD=BG，

∵AC∥BG，

∴∠ACB+∠GBC=180°，

∵∠ACB=90°，

∴∠GBC=∠ACB=90°，

在△ACD和△CBG中

∴△ACD≌△CBG（SAS），

∴∠CAD=∠BCG，

∵∠ACG+∠BCG=90°，

∴∠ACG+∠CAD=90°，

即 AD⊥CG．

【解析】（1）由條件證明△DBE≌△GBE即可；（2）由條件可證明△ACD≌△CBG，再利用角的和差可證得結論．