Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長為a的正方形，點G、E分別是邊AB、BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平方線CF于點F．
（1）證明：△AGE≌△ECF；
（2）求△AEF的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明∵G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC的中點，

∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°﹣45°=135°；

又∵CF是∠DCH的平分線，

∴∠DCF=∠FCH=45°，

∠ECF=90°+45°=135°；

在△AGE和△ECF中，

；

∴△AGE≌△ECF

（2）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF；

又∵∠AEF=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形；

∵AB=a，E為BC中點，

∴BE= BC= AB= a，

根據勾股定理得：AE= = a，

∴S△AEF= a2

【解析】（1）根據正方形的性質，易證得AG=EC，∠AGE=∠ECF=135°；再加上（1）得出的相等角，可由ASA判定兩個三角形全等；（2）在Rt△ABE中，根據勾股定理易求得AE2；由（2）的全等三角形知：AE=EF，即△AEF是等腰Rt△，因此其面積為AE2的一半，由此得解．
【考點精析】掌握正方形的性質是解答本題的根本，需要知道正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．