Question

【題目】拋物線y=ax2+bx+c的頂點D（﹣1，2），與x軸的一個交點A在點（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結論：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＞0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個相等的實數根． 其中正確的結論是（ ）

A.③④
B.②④
C.②③
D.①④

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵拋物線與x軸有2個交點，

∴△=b2﹣4ac＞0，所以①錯誤；

∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點D（﹣1，2），

∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，

而拋物線與x軸的一個交點A在點（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，

∴拋物線與x軸的另一個交點A在點（0，0）和（1，0）之間，

∴x=1時，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，所以②錯誤；

∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣ =﹣1，

∴b=2a，

∵x=﹣1時，y=2，

即a﹣b+c=2，

∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正確；

∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點D（﹣1，2），

即x=﹣1時，y有最大值2，

∴拋物線與直線y=2只有一個公共點，

∴方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個相等的實數根，所以④正確．

故選A．

【考點精析】本題主要考查了二次函數圖象以及系數a、b、c的關系和拋物線與坐標軸的交點的相關知識點，需要掌握二次函數y=ax2+bx+c中，a、b、c的含義：a表示開口方向：a>0時，拋物線開口向上; a<0時，拋物線開口向下b與對稱軸有關：對稱軸為x=-b/2a;c表示拋物線與y軸的交點坐標：（0，c）；一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能正確解答此題．