Question

如圖1,若△ABC和△ADE為等腰直角三角形,AB=AC,AD=AE,M,N分別EB,CD的中點．

（1）易證：①CD="BE" ；②△AMN是            三角形；
（2）當把△ADE繞A點旋轉到圖2的位置時,

①求證：CD=BE；
②判斷△AMN的形狀,并證明你的結論；
（3）當△ADE繞A點旋轉到圖3的位置時,（2）中的結論是否成立？直接寫出即可,不要求證明；并求出當AB=2AD時,△ADE與△ABC及△AMN的面積之比．

Answer 1

（1）等腰直角 ；（2）證明見解析；（3）（2）中的結論成立,△ADE與△ABC及△AMN的面積之比為：4：16:5.

試題分析：（1）根據已知條件易得△AMN等腰直角三角形；
（2）①用SAS證明△DAC≌△EAB,易得結論；②由于△DAC≌△EAB可以推出△DAM≌△EAN,得到CD=BE,再找角之間的關系易得結論；
（3）（2）中結論成立,令AD=a,求出△ADE與△ABC及△AMN的面積,再求出比值.

試題解析：（1）等腰直角
（2）①∵∠DAE=∠CAB=90°
∴∠DAC=∠EAB
又∵ AD=AE   AC=AB
∴△DAC≌△EAB    
∴ CD=BE；       
②△AMN是等腰直角三角形
∵△DAC≌△EAB
∴∠CDA=∠BEA
∵ CD=BE 
∴ DM=EN
又∵ AD=AE
∴△DAM≌△EAN
∴ AM=AN,∠DAM =∠EAN
∵∠DAM+∠MAE=90°
∴∠EAN+∠MAE=90°
∴∠MAN=90°
∴△AMN是等腰直角三角形；
(3)當△ADE繞A點旋轉到圖3的位置時,（2）中的結論成立(或CD=BE,△AMN是等腰直角三角形)
設AD="a," 那么AC="2a" （a≠0）
CD= a,AM=
△ADE與△ABC及△AMN的面積之比為：：：=4：16:5．