Question

【題目】如圖，是等邊三角形內一點，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接．若，，，則四邊形的面積為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

連結PQ，先根據等邊三角形的性質和旋轉的性質證明△APQ為等邊三角形，則P Q=AP=6，再證明△APC≌△AQB,可得PC=QB=10，然后利用勾股定理的逆定理證明△PBQ為直角三角形，再根據三角形面積公式求出面積，最后利用S四邊形APBQ=S△BPQ+S△APQ即可解答．

解：如圖，連結PQ，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∵線段AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AQ，

∴AP=PQ=6，∠PAQ=60°，

∴△APQ為等邊三角形，

∴PQ=AP=6，

∵∠CAP+∠BAP=60°，∠BAP+∠BAQ=60°，

∴∠CAP=∠BAQ，

∵在△APC和△ABQ中，AC=AB，∠CAP=∠BAQ，AP=AQ

∴△APC≌△AQB，

∴PC=QB=10，

在△BPQ中， PB2=82=64，PQ2=62=36，BQ2=102=100，

∴PB2+PQ2=BQ2，

∴△PBQ為直角三角形，

∴∠BPQ=90°，

∴S四邊形APBQ=S△BPQ+S△APQ=×6×8+×62=24+9

故答案為A．.