Question

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，E為BC上一點，將紙片沿AE翻折，使點E與CD邊上的點F重合．
（1）求線段EF的長；
（2）若線段AF上有動點P（不與A、F重合），如圖（2），點P自點A沿AF方向向點F運動，過點P作PM∥EF，PM交AE于M，連接MF，設AP=x（cm），△PMF的面積為y（cm）²，求y與x的函數關系式；
（3）在題（2）的條件下，△FME能否是等腰三角形？若能，求出AP的值，若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）根據折疊的性質知：∠ABE=∠AFE=90°，AB=AF=10cm，EF=BE；
Rt△ADF中，AF=10cm，AD=8cm；由勾股定理得：DF=6cm；
∴CF=CD-DF=10-6=4cm；
在Rt△CEF中，CE=BC-BE=BC-EF=8-EF，由勾股定理得：
EF²=CF²+CE²，即EF²=4²+（8-EF）²，解得EF=5cm；

（2）∵PM∥EF，
∴PM⊥AF，△APM∽△AFE；
∴

PM

EF

=

AP

AF

，即

PM

5

=

x

10

，PM=

x

2

；
在Rt△PMF中，PM=

x

2

，PF=10-x；
則S_△PMF=

1

2

（10-x）•

x

2

=-

1

4

x²+

5

2

x；（0＜x＜10）

（3）在Rt△PMF中，由勾股定理，得：
MF=

PM2+FP2

=

5 4 x2-20x+100

；
同理可求得AE=

AB2+BE2

=5

5

，AM=

AP2+PM2

=

5

2

x；
∴ME=5

5

-

5

2

x；
若△FME能否是等腰三角形，則有：
①MF=ME，則MF²=ME²，即：

5

4

x²-20x+100=（5

5

-

5

2

x）²，解得x=5；
②MF=EF，則MF²=EF²，即：

5

4

x²-20x+100=25，化簡得：x²-16x+60=0，解得x=6，x=10（舍去）；
③ME=EF，則有：
5

5

-

5

2

x=5，解得x=10-2

5

；
綜上可知：當AP的長為5cm或6cm或（10-2

5

）cm時，△FME是等腰三角形．